1.2 导数的定义与性质
1.2.1 定义与基本性质
在上一节中，我们介绍了函数的定义和基本性质.接下来，我们再介绍导数.导数实质上是“微积分”一词中“微分”的部分，在研究函数的性质方面有重要作用.
高中数学绕过“极限”的定义讲解了导数的定义.在这里，简单提一下极限的性质：如果 
是连续函数，则
.
例如，当 
时， 
.这在求导数时有一定的用处.
定义 1.1 (导数) 设函数 在 
附近有定义，如果极限
存在，则称 在 处可导，并称上述极限值为 在 处的导数，记作 
.函数 
称为函数 的导函数，简称导数.
接下来看一个涉及基本函数求导的简单例子.
例1.1 用定义求函数 
的导数.
解答 计算得
.
因此，函数 的导数为 
. ■
做完这题之后，可以再试一下，如何用定义求函数 
的导数.事实上，容易通过基本函数的求导公式来得到该函数的导数，但是也千万别忘了定义.当然，如果要用定义来求函数 
或者 
的导数会较为麻烦.更一般地，有下面的常用函数的导数表.
常用函数的导数表
在了解了导数的定义之后，我们可以来探讨导数的一些基本性质.如果我们有两个可导的函数，对其进行组合，所得的函数是否还是可导的？更进一步，能否求出它们的导数？这是我们首先要提到的导数的性质，即导数也有四则运算公式.
定理1.2(导数的四则运算公式) 设函数 和 
的导数为 和 
.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）若 
，则 
.
这些公式都是比较基本的，需要熟背下来.前两个公式的证明是容易的；而后两个公式的证明，需要应用一些分析学的技巧.考虑到高中阶段尚未给出极限的定义，导数的四则运算公式是无法严谨证明的.而不少函数的求导都需要应用到四则运算公式.
例1.2 设 
，求 .
解答 注意到 
，因此
. ■
接下来，我们介绍复合函数的求导公式.
定理1.3 设函数 和 可导，对于复合函数 
，有
.
该定理的证明较为复杂，但是记忆是比较容易的.为了方便理解该公式，我们在此引入大学数学中常用的莱布尼茨记号，即将 
对 
求导数表示为 
，则上述公式即为
.
需要注意的是，上式只是在形式上说明了复合函数求导公式的合理性，并不能用于证明复合函数的求导公式.对复合函数的求导公式的应用需要非常熟悉，下面是一个例子.
例1.3 设函数 
，求 .
解答 首先对外层求导，可以得到 
；再对内层求导，可以得到 
.因此
■