1.2.4　线性代数

定义1.6　设为一个交换群,运算 “+” 称为加法.为一个数域,若,,对应唯一的元素,记为,即

常称 “.” 为数与中元素的乘法,简称数乘法[3] . 数乘运算满足下列性质.

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[3]　准确地说,数乘运算 “.” 是到的一个二元映射.

(1) 交换律:.

(2) 结合律:.

(3) 对数的加法+的分配律:.

(4) 对元素的加法+的分配律:. [4]

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[4]　此处因为数域,故自身具有加法 (运算符仍用 “+”) 和乘法 (连写,不用运算符) 运算,注意在上下文中与中元素的加法和数乘运算加以区别.

中元素的加法运算 “+” 连同数乘运算 “.” 统称为线性运算. 定义了线性运算的集合称为数域上的一个线性代数或线性空间,记为.

例1.14　设为一数域,,由符号和常数构成的表达式

称为数域上 的一元多项式,简称为多项式. 其中,符号称为变元,称为次项,为次项的系数,. 非零系数的最大下标,称为多项式的次数.时,0次多项式为一常数. 定义常数0为特殊的零多项式,零多项式是唯一没有次数的多项式. 本书规定零多项式的次数为-1. 常用表示多项式. 数域上所有次数小于的一元多项式构成的集合记为. 两个多项式,,当且仅当两者同次项的系数相等,即.

设 ,定义加法

例如, ,则. 由于多 项式的系数来自数域,所以满足加法的结合律和交换律; 零多项式为加法的零元; 对任一非零多项式的所有系数取相反数,构成的同次多项式记为,为的负元. 所以构成一个交换群.

对任意实数及,定义数乘法

例如,,则. 由于和多项式的系数均 来自数域,故对于与多项式系数的乘法满足交换律和结合律,且数乘法对加法满足分配律. 所以构成一个线性空间.

例1.15　区间上的实值可积函数全体记为. 根据高等数学 [5] 知,.,函数的和,数乘运算为. 由于中的任一为实值可积函数,即函数值均为实数,而为一个域,故有以下 结论.

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[5]　见参考文献[1].

(1) 对于函数的加法,满足交换律、结合律. 零值函数(0为零元),,且,即有负元. 所以构成一个交换群.

(2) 对于数与函数的乘法,,满足综上所述,构成一个线性代数 (线性空间).