3.2 数学模型

本节以他励直流电机为例，推导直流电机的数学模型。

直流电机励磁绕组产生的磁链可以表示为

式中，λ_f为励磁绕组电流产生的磁链；L_f为励磁绕组电感；i_f为励磁电流。

将式（3-1）代入励磁绕组的等效电路，可得励磁绕组的电压方程为

式中，u_f为励磁绕组端电压；R_f为励磁绕组电阻。

由于换向器的作用，可以近似地认为电枢绕组中电流所产生的磁场在一个磁极下的总磁通为零（不考虑电枢反应），所以一般不计算直流电机电枢绕组电流所产生的磁链。将电枢绕组中的反电动势定义为e，参照励磁绕组的电压方程可以得到电枢绕组的电压方程为

式中，u_a为电枢绕组端电压；i_a为电枢绕组电流；R_a为电枢绕组电阻；L_a为电枢绕组电感；u_b为电刷压降。

由于电刷压降的值相对较小，一般情况下可以忽略，所以电枢绕组的电压方程一般写为

根据电磁感应定律可知，反电动势e的大小与转子转速成正比，所以直流电机的反电动势方程可以表示为

式中，K_e称为反电动势常数；ω为转子机械转速。

因为式（3-5）描述的是励磁磁场与电枢绕组的交链关系，所以反电动势常数的值是由电枢绕组的几何形状及其与励磁绕组（或永磁体）的空间位置决定的。同理，根据电磁力的公式可知，直流电机产生的电磁转矩与其电枢电流成正比，所以直流电机的转矩方程可以表示为

式中，T_e为直流电机产生的电磁转矩；K_T称为转矩常数。

K _T同样描述了励磁磁场与电枢绕组的交链关系。

根据直流电机工作的基本原理，式（3-4）对应的电枢绕组等效电路中各元件消耗的电功率可以分别解释为：电枢电阻上的电功率将转化为热能，引起直流电机温升；电枢电感只在电枢电流变化时吸收或产生电功率，在电流增加时，它将电功率转化为磁场能存储在电感中，反之，磁场能将转化为电能输出；而反电动势项则完成了电功率与机械功率的相互转化，机械转速ω通过磁链λ_f按反电动势常数K_e的比例转化为电动势，电枢电流i_a同样通过磁链λ_f按转矩常数K_T的比例转化为机械转矩。根据能量守恒可得，反电动势项消耗的电功率（消耗电能大于0，为电动状态；小于0，为发电状态）与直流电机产生的机械功率相等，可得

式中，P_e为反电动势项消耗的电功率；P_m为直流电机产生的机械功率。

利用式（3-5）和式（3-6），二者可以分别表示为

将式（3-8）和式（3-9）代入式（3-7）可以得到

根据以上推导，可以认为在直流电机中反电动势常数等于转矩常数。

这里需要指出的是，考虑到直流电机磁路的非线性，直流电机的转矩常数和反电动势常数都可能随直流电机的工况发生变化。例如，当励磁电流增加时，磁路可能发生饱和，此时，励磁电感L_f并非电流i_f的线性函数，式（3-1）将出现非线性以描述磁场的饱和特性；另一种情况是所谓的电枢反应，虽然理论上电枢电流在一个磁极下所产生的磁通为0，但随着电枢电流的增大，同样会引起励磁磁通方向上的磁场饱和，此时，一个磁极下电枢绕组产生的总磁通减少，起弱磁作用，相应地，磁场λ_f与电枢电流i_a产生函数关系，引起非线性。关于电枢反应的详细介绍可以参看文献［11］。

在直流电机中，除了对电磁系统的描述，还需要对机械运动过程进行建模，相应的方程是通过旋转运动形式的牛顿第二定律得到的，即

式中，J_∑为直流电机转子及负载的等效转动惯量；T_L为负载转矩。

若假定负载转矩与转速成正比，且其阻尼系数记为K_v，则T_L的表达式写为

从而获得考虑阻尼负载转矩特性的直流电机的运动方程为

该方程为典型一阶线性方程，机械响应时间常数由系统的等效转动惯量J_∑和阻尼系数K_v共同决定。

综合式（3-1）～式（3-6）和式（3-11），便得到了完整的直流电机数学模型。若直流电机为永磁直流电机，则可忽略式（3-1）和式（3-2），直接获取永磁体的磁链；若直流电机励磁形式为并励、串励或复励，则需要利用电路连接关系，消去式（3-2）中的励磁绕组端电压u_f，获得相应的直流电机模型。