2.4 极点和部分分式

考虑以下类型的F（s）：

其中，p₁，p₂，p₃各不相同，F（s）的部分分式展开为

并且

这里的关键是我们只需要知道F（s）的极点就可以确定时域响应的形式。时域响应的形式是指函数。零点对A₁，A₂，A₃的值有影响，但不会影响到时域响应的形式。

类似地，如果

那么

不用计算A₁，A₂，A₃，我们便可以知道

再次强调，重点是我们只需要知道F（s）的极点便可确定时域响应的形式。

例20

通过部分分式展开，我们可以得到

也就是说，这是在F（s）的极点处展开的。即使不用计算A，B，我们也可以知道

f（t）=Ae-2t+Be-6t

当t→∞时，f（t）会趋于零。

例21

通过部分分式展开法，我们可以得到

也就是说，这是关于F（s）的极点展开的。即使不用计算A，B，我们也可以知道

f（t）=Ae-2t+Be6t

并且当t→∞时，f（t）不会趋于零。

例22

图2-4是F（s）的零极点图，即用×标记位于-1±2j处的两个极点，用〇标记位于-6处的零点。通过部分分式展开法，我们可以得到

甚至不需要计算β₁，，我们便可以知道

当t→∞时，f（t）会趋于零。

F（s）的极点是-1±2j，其中极点的实部决定了衰减速率为e-t，极点的虚部决定了振荡速率为cos（2t+∠β₁）。

例23

函数F（s）的零极点图如图2-5所示。

通过部分分式展开法，我们可以得到

甚至不需要计算β₁，，我们便可以知道

并且当t→∞时，f（t）不会趋于零。F（s）极点的实部都是1，导致f（t）具有因子et，它将发散。

定义4 左半开平面

令s=σ+jω，那么Re{s}=σ且Im{s}=ω。如图2-6所示，左半开平面有：

σ=Re{s}<0

定理1f（t）的渐近响应 已知F（s）=L{f（t）}是严格正则有理函数，那么

当且仅当F（s）的所有极点都在左半开平面上。

证明 通过上面的例子，我们可以用部分分式展开的方法来计算拉普拉斯逆变换。