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A、B和C，这三位究竟怎样了？

20世纪50年代，当我还在上学的时候，我们做过很多像这样的题目：

A和B一起工作，用4小时可以灌满一个浴缸。A和C一起工作，用5小时可以灌满一个浴缸。B灌水的速率是C的两倍。

C独自工作，需要多长时间才能灌满浴缸？

那么，解这类题目的诀窍在于，总是关注每个人在给定时间（比如1小时）内能完成整个任务的比例。

因此，如果我们设对应A、B和C的这些分数分别是a、b和c，那么我们就能列出：

这是因为A和B一起可以在1小时内灌满浴缸的，而其他情况也可类似地推出。

这样，对于三个“未知数”a、b和c，我们就有了三个方程。

现在，由于我们真正感兴趣的只是c的值，因此尝试消去a和b是有意义的。

消去b很容易，我们可以将第三个方程b=2c代入第一个方程中的b，得到：

a+2c=

然后，如果我们把第二个方程改写为a=-c，就可以用它来消去a：

上式可简化为：

因此，C用1小时可以灌满这个浴缸的，所以如果他独自工作，那他就需要20个小时才能灌满这个浴缸。坦率地说，这个答案真让人不忍细想。

数学中人的因素？

人们很容易取笑这类题目，但它可能还比不上加拿大幽默大师斯蒂芬·里柯克（Stephen Leacock，1869—1944）在1910年首次发表的一篇著名文章中提及的题目那么巧妙。

里柯克设定A总是三个人中最强壮、最有活力的，B排在第二位，而C是最弱不禁风的。

对此，里柯克是这样说的：

可怜的C身材矮小，身体虚弱，哭丧着脸。不停地走路、挖掘和抽水损坏了他的健康，破坏了他的神经系统……正如汉布林·史密斯所说，“A在1小时内能做的工作比C在4小时内做的工作还要多。”

然而，有一些证据表明，里柯克并没有像人们所希望的那样彻底地进行他的研究。

里柯克所提到的詹姆斯·汉布林·史密斯（James Hamblin Smith，里柯克的拼写有点不准确）是19世纪剑桥大学一位非常成功的个人导师，我们如果翻到他的《算术专论》（Treatise on Arithmetic，1889）第172页，确实会发现A、B和C执行了各种各样的任务，包括图7所示的这个任务。

于是，这里发生了一件非常奇怪的事情。

该题告诉我们，A可以用3小时完成这项工作，所以想象一下A有一个双胞胎兄弟。他们一起工作，就可以用小时完成这项工作。不过，如果A与C一起工作，却可以更快地完成这项工作——只需小时。

这意味着C一定比A干得快！

进一步的研究表明，C也比B干得快。这确实是C的光荣时刻。

同样值得注意的是，B最终会发疯（图8）。

有格调的浴缸灌水方式？

虽然看起来很奇怪，但即使是给浴缸灌水也为优雅的数学提供了用武之地。

例如，考虑下面这道题：

A和B可以用3小时灌满一个浴缸，A和C可以用4小时灌满这个浴缸，B和C可以用6小时灌满这个浴缸。如果他们三个人一起工作，需要多长时间灌满这个浴缸？

和之前一样，我们首先设他们各自单独工作时，1小时可以在浴缸中灌水的比例分别是a、b和c。这样我们就能列出下列三个方程：

现在，我们可以用之前讲过的那个方法来求解这些方程，以求出c的值，而一旦我们知道了c，那么从第二个和第三个方程中能很快得到a和b的值。

然而，值得注意的是，就这道特定的题目而言，a、b和c的这些单独的值几乎无关紧要，我们真正需要知道的是a+b+c的总和，这样才能得到“三个人一起工作”的答案。

因此，还有一种更简洁的方式来得到所要求的结果。

我们只要注意到：

由此，我们就直接得到了a+b+c值为，因此三个人一起工作就需要小时灌满这个浴缸。

至少在我看来，即使在这样一个无望的、空想的设定下，我们这里也有一个用简单素材就能描述优雅数学的完美例子。