1.5　货物运送的线性规划模型案例

一架货机有3个货舱：前舱、中舱和后舱。3个货舱所能装载的货物最大重量和体积的限制如表1-4所示。

为在飞行过程中保持平衡，3个货舱装载的货物必须与其最大的容量成比例。

现有4类货物需要用该货机进行装运，货物的规格以及装运后所获得的利润如表1-5所示。

建立数学模型计算如何装运才能使得货机飞行利润最大。

问题分析

这个优化问题的目标是使得货机飞行获利最大，而要做的决策为装运方案，即在前舱、中舱、后舱分别装运4类货物的重量。决策变量取值需要受到4个条件的限制：货舱重量、货舱体积、飞行平衡、运送货物总量。按照题目所给条件将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及公式表示出来，就可以得到相应的数学模型。

模型假设

1.每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；

2.不同种类的货物可以放在同一货舱且不留间隙；

3.每种货物可以无限细分，即货物在各舱内的存储量为非负连续实数。

模型设计

按照优化模型的三要素（决策变量、目标函数、约束条件）建立数学模型。设在前舱放置4类货物的数量为x11,x12,x13,x14；在中舱放置4类货物的数量为x21,x22,x23,x24；在后舱放置4类货物的数量为x31,x32,x33,x34。因此，货物1的重量可表示为，货物2的重量可表示为，货物3的重量可表示为，货物4的重量可表示为。设飞行装运获利为z元，优化模型的目标函数如下：

在确立目标函数后，决策变量取值受到货舱重量、货舱体积、飞行平衡、运送货物总量以及决策变量属性的限制。

• 货舱重量的限制：前舱、中舱、后舱装载的货物重量不得超过货舱重量上限。

• 货舱空间的限制：前舱、中舱、后舱装载的货物空间不得超过货舱空间上限。

• 飞行平稳性的限制：为在飞行过程中保持平衡，3个货舱装载的货物必须与其最大的容量成比例。

• 货物总量的限制：装载的货物总重量不得超过运送货物总重量。

• 决策变量属性的限制：xmn均不能为负值，即xmn≥0,m=1,2,3;n=1,2,3,4。

综上所述，所建立货机运输问题的优化模型如下：

模型求解

在LINGO软件中输入如下代码求解上述线性规划模型：

运行如上程序，将显示求解状态如图1-8所示。

图1-8显示：模型类型属于LP（线性规划模型），目标函数值的状态为Global Opt（全局最优解），目标函数最优值为121516，迭代次数为20次。模型运算的具体结果显示在Solution Report如下：

模型运算的结果如表1-6所示。在前舱存储10吨货物2，在中舱存储约12.95吨货物3和约3.05吨货物4，在后舱存储5吨货物2和3吨货物3。采用上述运输策略可以获得最大利润为121515.8元。

为便于调用MATLAB软件求解上述线性规划模型时，需将货物运输的线性规划模型写成矩阵形式如下：

由于本题涉及变量矩阵较大，为节省篇幅直接给出调用linprog命令解决问题的MATLAB代码。

注意　与LINGO代码不同，当采用MATLAB求解线性规划模型时，软件并不默认决策变量非负性。因此，在代码中需要添加决策变量的非负要求，即增加决策变量的取值下限。

运行上述程序，具体结果显示如下：

模型运算的结果如表1-7所示。在前舱存储7吨货物2和3吨货物3，在中舱存储约12.95吨货物3和约3.05吨货物4，在后舱存储8吨货物2。采用上述运输策略可以获得最大利润为121515.8元。

采用MATLAB软件Optimizationtool工具箱求解上述线性规划模型时模型结果显示如图1-9。

最后，我们来了解Python求解上述线性规划模型的方法，其程序如下：

具体结果显示如下：

模型运算的结果如表1-8所示。在前舱存储7吨货物2和3吨货物3，在中舱存储约12.95吨货物3和约3.05吨货物4，在后舱存储8吨货物2。采用上述运输策略可以获得最大利润为121515.8元。

对比MATLAB软件、Python软件与LINGO软件得到的结果，细心的读者可以发现虽然不同软件得到的目标函数值相同，但是决策方案并不相同。这说明线性规划模型中可能存在多种决策方案达到最优值，但最优目标值往往只有一个。读者在自行验证上述程序时可以发现，不同版本的MATLAB软件、Python软件由于精度不同、迭代初始值不同在最终结果输出时可能会有细微差别。