平行时空：跨越千年的回荡

山万叠、水千重，东西方文明却不谋而合

喜马拉雅山脉犹如一条历史的回音壁，东方的古代学者们每一声成果捷报，都会在数百年甚至上千年之后，隐约听到一个相同的声音从西方传来。

相差千年，形似孪生

科学离不开数学，世界的数学发展，以中国古代数学为先，成果也最为丰富。

长达千年的时间里，中国的数学历经漫长的循序渐进式的发展。回顾数学的历史，不难看到，中国的各类数学成果都比西方早发现很多年。但是，后起的西方高速地完成了数学的基础积累，快速地赶上中国、超过中国。

让我们对比中西方数学，看看到底发生了什么。

以几何学为例，中国的各种几何学知识的提出，比西方都要早500~1000年。

1．圆周率

中国古代：“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五”，也就是说，圆周率为（355/113＝3.14159292），至少精确到了小数点后8位。

西方近代：π＝3.141593。也就是说，给圆周率取了一个名字（即符号π），然后约定一个符号“＝”，代表“等于”，阿拉伯数字表示计算出来的值3.141593，注意这个小数点的符号“.”，表达得非常简洁。

2．勾股定理

中国古代：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，或者“故折矩，以为勾广三、股修四、径隅五”的实例式描述。

西方近代：a2＋b2＝c2，或者，即三个变量的符号化描述。

中国的“勾、股、弦”，西方用a、b、c表示；“勾股各自乘”，西方用a2和b2表示；“开方除之”，西方用表示；“即弦”，西方用“＝”表示“即”，用“c＝”表示“即弦”。

3．圆的面积

中国古代：“径自相乘，三之，四而一”。

西方近代：S＝π×d2/4。

“径自相乘”，就是d2，d代表直“径”；“三之”即“π×”，“四而一”，就是“/4”。

类似的例子还有很多，例如计算立方体的体积，见中国古代与西方近代的立方体体积计算对照表。

领跑的中国古代数学

最晚到春秋末年（距今至少2500年），中国古人已经掌握了完备的十进位计算，谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。2400年前开始，中国古代先后出现了大量数学著作，举其荦荦大者：

《孙子算经》，约公元前400年，杰出成就：算筹计数。

《周髀算经》，约公元前100年，杰出成就：勾股定理、分数运算、等差数列、圆周长求法、一次内插法。

《九章算术》，约公元前100年，杰出成就：分数运算、比例问题、“盈不足”算法、面积计算、体积计算、一次方程组解法、开平方、开立方、一般二次方程解法。

《海岛算经》，263年，杰出成就：相似三角形测量方法（重差法是测量数学中的重要方法）。

《张丘建算经》，466—485年，杰出成就：最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”（不定方程）。

《数书九章》，1247年，杰出成就：“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法）。

《测圆海镜》，1248年，杰出成就：系统介绍“天元术”、列方程、解方程。

《算数启蒙》，1299年，杰出成就：四则运算、开方、九归除法。

《四元玉鉴》，1303年，杰出成就：“四元术”（解四元高次方程与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。

……

这些著作中的算术和数学理论，比西方多则早一千年、少则早几百年。在此，我们略举一例。

魏晋时期（约3世纪，即1700多年前）数学著作《海岛算经》中记录了“窥望海岛”，这是中国古代跨区域测量远处目标高度和距离的方法，与现代卫星摄影测量一模一样，都采用三角测距的原理。

窥望海岛的基本数学原理源自《海岛算经》，这是刘徽(1)的著作，但据刘徽《九章算术注》自序，《海岛算经》是《九章算术注》第十卷《重差》，而东汉末郑玄《周礼注》引郑众注周礼“九数”（约公元5年）语云“今有重差、夕桀、勾股也”。可见刘徽《海岛算经》的前身乃是汉时的“重差术”，如果把《海岛算经》测高远之法具体分析，可见重差之法由来已久。

《周髀算经》中，有一段描述与《海岛算经》中“今有望海岛”的第一题是一样的。

《周髀算经》：

“周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸……正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸……从此以上至日，则八万里。”

《海岛算经》第一题：

“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何。”

这说明，中国的三角学和三角测量术比西方的同类数学发展要早数百年，因为西方数学史将托勒密的《天文学大成》视作西方三角术的开始，这是公元150年的著作；而《周髀算经》，是公元前100年的著作，领先《天文学大成》250年之久。

《海岛算经》的英译者、美国数学家弗兰克·斯委特兹认为“在测量数学领域，中国人的成就，超越西方世界约一千年”。西方直到14世纪之后的文艺复兴时代，也未能完全达到《海岛算经》水准；17世纪初，意大利传教士利玛窦和中国徐光启合著的《测量法义》的十五题，也未能达到《海岛算经》的水平。

吴文俊院士认为：“《海岛算经》使中国测量学达到登峰造极的地步。在西欧直到16、17世纪，才出现二次测量术的记载，到18世纪，才有了三四次测量之术，可见中国古代测量学的意境之深，功用之广。”刘徽《海岛算经》的测量术，比欧洲早1300~1500年。

“乘法口诀”，古时称“九九表”“九九歌”“九九乘法表”等，是古往今来进行乘、除、开方等运算的基本规则，至今已沿用三千多年。2002年夏天，在湘西里耶古城挖掘出大量秦代简牍，其中有一枚保存十分完整清晰的“九九乘法表”，它是目前全世界发现最早的“乘法口诀表”实物，可以改写世界数学历史。中国在春秋战国时期就已经熟练掌握了四则运算、开方等复杂运算，从木牍的文字来看，其中“二半而一”的意思是“二乘以二分之一等于一”，这说明中国早在秦朝就已经有了分数的概念。

1975年，《数学学报》杂志刊登了一篇文章，题为《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》，署名作者顾今用（吴文俊院士当时的笔名）。作者断言，近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学，决定数学历史发展进程的主要是中国的数学而非希腊的数学。文章中，吴文俊院士发表了一份表格，对比了中西方算术代数成就的时间。

表中所列是依据两位竭力为印度数学辩护的印度数学史家Datta以及Singh的说法，这些说法即使不考虑中国的因素，也是大有疑问的。

作者进一步认为，中国古代数学家“在长期的实践过程中，创造与发展了从记数、分数、小数、正负数以及无限逼近任意实数的方法，实质上完成了整个实数系统。特别是自古就有了完美的十进位的位值制记数法，这是中国的独特创造，是当时世界其他古代民族都没有的。代数学无可争辩地是中国的创造，从九章以至宋元的秦九韶与朱世杰发展的线索甚为分明，甚至可以说在16世纪以前，除了阿拉伯某些著作之外，代数学基本上是中国一手包办了的”。

但是，中国古代数学的成就绝不止于算术与代数方面，在本书的后续章节，将看到更多令人惊艳的中国古代数学成就。