2.2.2 磁路等效计算模型

ST等效磁路中磁通与磁导、磁动势之间的关系满足以下矩阵方程：

式中，Φ为各绕组支路构成的磁通矩阵；P为各励磁支路构成的磁导矩阵；N、i分别为绕组匝数和绕组电流构成的矩阵；θ为各励磁支路的磁动势矩阵。

根据高斯磁路定律，流入和流出节点的磁通代数和必须为0，即

式中，矩阵AT是等效磁路的节点关联矩阵，矩阵元素为1、-1和0，分别表示该支路磁通流入、流出和不与该节点相连。各节点的磁通代数方程和等效磁路的节点关联矩阵AT见附录A-1。

节点磁动势与支路磁动势满足以下关系：

式中，θ_node表示磁路各节点的磁动势。

联立式（2-3）～式（2-5）可得

式中，M=I-PA(ATPA)-1AT，I为单位阵。

将励磁支路分成两部分，具有磁动势和磁导部分的支路ΦM，即流经绕组线圈的磁通支路；只具有磁导部分的支路ΦP，即流经铁轭和漏磁的磁通支路。式（2-6）可以改写成如下形式

式中，PM为铁心磁导矩阵；PP为漏磁路磁导与零序磁导矩阵；NMiM为磁动势矩阵。其中，MMM是矩阵M中12×12维的子矩阵；MMP和MPM分别是矩阵M中12×17维和17×12维子矩阵；MPP是矩阵M中17×17维的子矩阵；ΦM和iM是12×1维的列向量；ΦP是17×1维的列向量；PM和NM是12×12维的对角矩阵；PP是17×17维的对角矩阵，即

ΦM=[Φ_A(t),Φ_B(t),Φ_C(t),Φ_a1(t),Φ_b1(t),Φ_c1(t),Φ_a2(t),

Φ_b2(t),Φ_c2(t),Φ_a3(t),Φ_b3(t),Φ_c3(t)]T

iM=[i_ST,pa(t),i_ST,pb(t),i_ST,pc(t),i_ST,sa(t),i_ST,sa(t),i_ST,sa(t),

i_ST,sb(t),i_ST,sb(t),i_ST,sb(t),i_ST,sc(t),i_ST,sc(t),i_ST,sc(t)]T

PM=diag(P_A(t),P_B(t),P_C(t),P_a1(t),P_b1(t),P_c1(t),

P_a2(t),P_b2(t),P_c2(t),P_a3(t),P_b3(t),P_c3(t))

NM=diag(N_A(t),N_B(t),N_C(t),N_a1(t),N_b1(t),N_c1(t),

N_a2(t),N_b2(t),N_c2(t),N_a3(t),N_b3(t),N_c3(t))

式中，diag表示对角矩阵。

由式（2-7）可得：

又因为

结合式（2-8）和式（2-9），得到ST的感应系数矩阵为

式中，L_ST为12×12维的对称矩阵。式（2-10）即为通过UMEC推导出的由支路磁导组成的ST感应系数矩阵。矩阵L_ST中主对角线元素为一、二次绕组的自感，其余位置分别为绕组间的互感。若不考虑ST的多绕组耦合效应，则矩阵L_ST为只含自感系数的对角矩阵。

进一步地，由式（2-10）可计算出ST一、二次侧的自感系数和互感系数，代入ST一、二次侧的电压电流方程，即得ST暂态方程为

式中，p为微分算子，p=d/dt；u_ST为12×1维的ST一次绕组和二次绕组端电压列向量；r为12×12维的等效内阻对角矩阵，即

u_ST=[u_ST,pa(t),u_ST,pb(t),u_ST,pc(t),u_ST,sa1(t),u_ST,sb1(t),u_ST,sc1(t),u_ST,sa2(t),

u_ST,sb2(t),u_ST,sc2(t),u_ST,sa3(t),u_ST,sb3(t),u_ST,sc3(t)]T

r=diag(r_A,r_B,r_C,r_a1,r_b1,r_c1,r_a2,r_b2,r_c2,r_a3,r_b3,r_c3)

式中，u_ST,pa(t)，u_ST,pb(t)，u_ST,pc(t)分别为3个一次绕组所对应的端电压；u_ST,sa1(t)～u_ST,sa3(t)、u_ST,sb1(t)～u_ST,sb3(t)、u_ST,sc1(t)～u_ST,sc3(t)分别为9个二次绕组所对应的端电压；r_A、r_B、r_C分别为3个一次绕组电阻；r_a1～r_a3、r_b1～r_b3、r_c1～r_c3分别为9个二次绕组电阻。