1.1 直流电动机数学模型与机械特性

1.1.1 直流电动机结构及工作原理

直流电动机的工作原理可用如图1-1所示模型进行说明，图中N和S是定子主磁极直流励磁后所产生的恒定磁场，当电刷A和B间外施直流电压U_S，若A刷与电源的“+”极相连，B刷与电源的“-”极相连，则在图1-1a所示瞬间，外电流I_S经A刷及与之相接触的换向片进入绕组元件abcd，如元件内的电流为i_d，则i_d的方向为从A刷→a→b→c→d→B刷。i_d与磁场相互作用，产生电磁力f，方向根据左手定则确定，如图1-1b所示。作用在电枢圆周切线方向的电磁力f将产生电磁转矩T_em，方向为逆时针。当电磁转矩T_em大于负载转距T₂和空载转矩T₀之和时，在电磁转矩T_em作用下，电枢以速度n按逆时针方向旋转。同时，转动的电枢绕组切割恒定磁场，产生感应电动势e，方向按右手定则确定，与i_d正好相反。

转过180°的位置后，由于电刷A通过换向片仍与处在N极下的元件边相连，所以从空间上看，i_d的方向不变，即从A刷→d→c→b→a→B刷，电磁转矩T_em仍是逆时针方向，因此n亦不变。但i_d相对于元件abcd来说，已改变了方向。所以直流电动机在运行时有以下4个特点：

1）电刷间外施电压U_S和外电流I_S均为直流，通过换向片和电刷的作用，在每个电枢线圈内流动的电流i_d变成了交流，同时产生的感应电动势e亦为交流。

2）元件内的感应电动势e和电流i_d的方向相反，故称e为反电动势。

3）某一固定的电刷（如A刷）只与处在一定极性（N极）磁极下的导体相连接。由于处在一定极性下的导体电动势和电流的方向是不变的，因此，由电枢电流所产生的磁场在空间上也是固定不变的。

4）电磁转矩T_em起驱动作用，即n与T_em同方向，所以只要电动机外部持续不断地供给电能，电动机就有持续不断的电磁转矩T_em去驱动生产机械或设备。

1.1.2 直流电动机数学模型

1.1.2.1 直流电动机基本数学模型与方程

1.电动势平衡方程式

以并励直流电动机为例，各物理量的正方向按习惯规定，如图1-2所示。

根据电路定律可以列出直流电动机的电动势平衡方程式为

式中 U_S——电枢端电压，单位为V；

I_d——电枢电流；

R_a——电枢回路总电阻，包括电枢绕组电阻、换向极绕组电阻、补偿绕组电阻和电刷接触电阻；

R_aj——电枢回路的外接电阻，用于起动、调速和制动；

Φ——每极磁通量，单位为Wb；

n——电机转速，单位为r/min；

C_e——电动势常数，且C_e=n_p/(60a)；

其中 n_p——电机极对数；

a——并联支路对数。

而励磁回路中的电压平衡方程式为

式中 R_f——励磁绕组的电阻；

R_j——励磁回路中的外接电阻，用于调节励磁电流。

当电动机处在瞬变过程中时，电枢电流I_d、反电势E和转速n在不断地变化，不接R_aj时，加在电枢两端的电压除平衡E和I_dR_a外，还需与电枢电路的自感电动势相平衡，其电动势平衡方程式为

2.转矩平衡方程式

电动机在正常稳定运行时，电磁转矩T_em应与负载转矩T₂和空载转矩T₀相平衡，故转矩平衡方程式为

式中 T_C——总负载转矩；

C_T——转矩常数，C_T=n_p/(2πa)。

理想空载运行时，U_S=U_N，Φ=Φ_N，T_C=0，I_d=0，此时所对应的转速

称为理想空载转速。

实际空载运行时，T₂=0，T₀≠0，故电枢电流。

在稳定运行时，T_em=T_C。但当T_em发生变化或T_C发生变化，即T_em≠T_C时，电动机的转速n就会发生变化。根据运动力学原理，转矩平衡方程式为

式中 J——系统转动部分的等效转动惯量。

1.1.2.2 直流电动机精确模型

精确模型是将电机转速变化的机械过程和电量变化的电磁过程按照实际情况考虑认为它们同时发生，从电枢电压平衡方程和转矩平衡方程出发建立其状态方程及传递函数关系。

根据

得到转速惯量参数J′与常用的转动惯量J（单位N·m·s2/rad）的关系为

若采用拉普拉斯变换，则按d/dt→s，∫dt→1/s的对应关系，可以从式（1-9）的微分方程推导出电枢电流i_a与电枢电压u_a之间传递函数以及转子转速n与动态转矩（T_em-T_C）之间传递函数见式（1-11）和式（1-12）。

式中 K_a——电枢回路放大倍数，且K_a=1/R_a；

T_a——电枢回路电磁时间常数(s)，且T_a=L_a/R_a。

考虑到E=C_eΦn及T_em=C_tΦi_a的辅助关系，并引入一个机电时间常数T_m，且T_m=J′R₀ /(C_tC_eΦ2)，则可求得精确模型的传递函数框图如图1-3所示。

由于建立精确模型时综合考虑了机电（T_m）和电磁（T_a）的过渡过程，故反映在传递函数框图中形成了一个有反馈的闭环二阶系统，其二阶系统的特性体现在各量之间的关系上。如转速与电枢电压间传递关系为

电枢电流与电枢电压间传递关系为

转速与负载转矩间传递关系为

1.1.3 直流电动机机械特性

直流电动机的机械特性是指在U_S=U_N，I_f=I_fN，R_a+R_aj =常数的条件下，电动机转速和电磁转矩T_em之间的关系，即n=f(T_em)，当电枢回路没有外接电阻R_aj时的机械特性称为自然机械特性。除了自然机械特性，还可用人为的方法改变电动机的机械特性，得到人工机械特性，以更好地满足生产机械的需要。人为改变电枢端电压U_S、电枢回路外接电阻R_aj和励磁回路外接电阻R_j（即磁通Φ）中的任一项，而其他项仍保持不变的情况下所获得的机械特性称为人工机械特性。对应于不同情况，可以直接从机械特性的一般表达形式获得相应的人工机械特性表达式。

直流电动机机械特性的一般表达式为

1.并励直流电动机的自然机械特性

自然机械特性的表达式为

式中 β_N——自然机械特性的斜率。

按式（1-17）所得的自然机械特性曲线如图1-4所示，为一条下垂的斜线，由于直流电动机中的R_a很小，即R_a<<C_eC_T，所以β_N很小，Δn_N（Δn_N=n₀-n_N）很小，这种机械特性就称为硬机械特性。

2.并励直流电动机的人工机械特性

保持电枢端电压U_N和励磁电流I_f（即磁通Φ）不变，仅改变电枢回路外接电阻R_aj的机械特性称为改变电枢回路外接电阻R_aj的人工机械特性，其表达式为

显然，对应于每一个不同的R_aj值，就有一条特性曲线，但理想空载转速n₀均与自然机械特性曲线所对应的n₀值相同，随着R_aj的增大，β值增大，特性曲线变软。所以此时的人工机械特性是一组通过n₀点的放射性曲线，如图1-5a所示。

电枢回路不串接电阻R_aj，保持励磁电流I_f（即磁通Φ）不变，仅改变电枢端电压U_S的机械特性称为改变电枢端电压U_S的人工机械特性，其表达式为

同样，对应于每一不同的端电压U_S，就有一条特性曲线。随着U_S的下降，理想空载转速减小，但因各条曲线的斜率β=β_N保持不变，所以是一组与自然机械特性曲线平行的曲线，如图1-5b所示。

电枢回路不串接电阻R_aj，保持电枢端电压U_N不变，仅改变励磁电流I_f（即磁通Φ）的机械特性称为减弱主磁通Φ（即增大励磁回路外接电阻R_j，仅改变励磁电流）的人工机械特性，其表达式为

同样，对应于每一不同的磁通Φ值，就有一条特性曲线。随着磁通Φ的减小，理想空载转速增大，特性曲线的斜率β′也随之增大，特性曲线如图1-5c所示。

为了保证电动机安全可靠运行，电枢端电压和磁通只能减小，而外接电阻则只能增大。有时，电枢端电压、外接电阻和磁通可能有两项，甚至三项同时变化，同样可以获得相应的机械特性曲线。有效地利用机械特性曲线，有助于正确了解、分析直流电动机起动、调速和制动等在内的各种运行状态。