2.2 多相交流电动机多平面分解坐标变换理论

根据电机学理论可知，气隙磁动势是交流电动机定子、转子之间的媒介，也是交流电动机实现机电能量转换的关键变量。对于气隙磁场为正弦波的三相交流电动机，根据电动机学气隙磁动势理论可知，气隙磁动势为空间旋转的矢量；从产生相同的气隙磁动势旋转矢量角度看，并非一定需要三相绕组，采用两相轴线正交的绕组也可以产生与三相绕组相同的气隙磁动势。为了找寻两相绕组与三相绕组磁动势分量之间的关系，把三相绕组产生的磁动势分别向由两相绕组轴线构成的直角坐标系进行投影，即可获得对应两相绕组产生的磁动势，如图2-1所示。

三相A-B绕组产生的磁动势分别为F_A，F_B，F_C，两相绕组产生的磁动势分别为F_α1，F_β1，产生的空间合成磁动势为F_∑，则磁动势对应关系如下：

式（2-2）中α₁轴、β₁轴的变换系数矢量可以用通式表示如下：

当φ=0及φ=π/2时，由式（2-3）分别得到α₁轴、β₁轴的变换系数矢量如下：

显然，α₁轴、β₁轴的变换系数矢量正交，同时这种变换满足了磁动势不变原则，这样就实现了三相绕组等效变换为两相绕组。实际系统中还有可能存在零序通路，零序轴系变换系数矢量只要遵循与式（2-4）矢量正交原则即可求得

根据式（2-4）及式（2-5），结合具体的约束条件即可获得三相系统向两相系统的变换矩阵，以下的T₃变换矩阵就是熟知的满足功率不变原则时建立的变换矩阵：

借助该变换矩阵，即可对由三相绕组轴线构成的自然坐标系数学模型进行简化，实际三相电动机数学模型投影到一个直角坐标平面（机电能量转换坐标系）和一个零序轴系中。

同样，为了对多相电动机进行解耦控制，也可以类似于三相电动机中的变换方法，把多相电动机分解到多个正交直角坐标平面和多个零序轴系中。随着电动机相数的增多，机电能量转换可以被映射到多个直角坐标平面，同时也出现了多个零序轴系。其中，有一个为基波平面，其他平面称为谐波平面。类似于上述三相系统的推导，建立m相对称绕组系统基波平面的变换系数矢量如下：

对应基波平面各轴之间关系的示意图如图2-2所示。1-m相轴线之间的夹角为0，2π/m，…，2π（i-1）/m，…，2π（m-1）/m，依次互差2π/m。

当φ=0及φ=π/2时，由式（2-7）分别得到α₁轴、β₁轴变换系数矢量如下：

显然，α₁轴、β₁轴的变换系数矢量正交。

若电动机中存在谐波，则还存在类似于式（2-7）的谐波直角坐标平面变换矢量。例如，第k次谐波直角平面α_kβ_k变换矢量如下：

式（2-9）形式同样满足了k次谐波平面磁动势相等原则，同时也体现了谐波平面各轴线夹角关系，用图2-3示意k次谐波平面各轴线夹角关系，1-m相轴线之间的夹角为0，2πk/m，…，2π（i-1）k/m，…，2π（m-1）k/m，1-m轴线依次互差2πk/m角。当φ=0及φ=π/2时，由式（2-9）分别得到α_k轴、β_k轴变换系数矢量如下：

若m相绕组不对称分布，例如双三相电动机定子存在两套三相绕组，每一套绕组是对称的，但两套绕组夹角并非一定为60°电角度，变换矢量也可以类似于式（2-9）和式（2-10）进行推导获得。若基波平面1-m相轴线之间的夹角为0，θ₁，…，θ_i，…，θ_m-1,则仿照式（2-9）建立第k次谐波平面α_kβ_k变换矢量如下：

当φ=0及φ=π/2时，由式（2-11）分别得到α_k轴、β_k轴变换系数矢量如下：

α_k:［cos0 coskθ₁…coskθ_i…coskθ_m-1］

由于多相电动机相数较多，直接求解与式（2-9）矢量或式（2-11）矢量正交的零序变换矢量较困难，因此可以借助于Matlab中的Null函数求解。根据以上分析，可以构建如下的m相向多平面、多零序轴系变换矩阵T_m：

不对称m相绕组基波平面各轴线之间夹角示意图如图2-4所示。