2.5.5 多输入-多输出系统的传递函数矩阵

根据定义，传递函数只能用来描述系统的一个输入量与一个输出量之间的数学关系。多输入-多输出系统的输入量与输出量之间的关系可以用传递函数矩阵描述。图2-67所示系统有两个输入量和两个输出量。用叠加定理可以分别求出每一个输入量单独作用时，各输出量与各输入量之间的传递函数。

当R₁(s)单独作用时，为了求出Y₁(s)与R₁(s)之间的传递函数，可将图2-67改画为图2-68a，则Y₁(s)相对于R₁(s)的传递函数为

Y₂(s)相对于R₁(s)的结构图如图2-68b所示，其传递函数为

同理，可得Y₁(s)与R₂(s)之间、Y₂(s)与R₂(s)之间的传递函数为

和

综上，各输入量与输出量之间的关系式为

写成矩阵表示形式为

式中，为输入向量的拉普拉斯变换矩阵；为输出向量的拉普拉斯变换矩阵。联系这两个向量的二阶矩阵即为传递函数矩阵。

对于m个输入量和n个输出量的多输入-多输出系统，设第i个输出量的拉普拉斯变换Y_i(s)与m个输入量的拉普拉斯变换之间的关系式为

在定义G_ij(s)时，假设只有第j个输入量R_j(s)起作用，其余的输入量均为零，将描述n个输出向量的拉普拉斯变换的方程写成矩阵的形式就有

式（2-141）给出了m个输入量与n个输出量之间的相互关系，可以简记为

式中

Y(s)是输出向量的拉普拉斯变量矩阵，R(s)是输入向量的拉普拉斯变量矩阵，G(s)是Y(s)和R(s)之间的传递函数矩阵。