2.5　H∞控制

本节采用类似于2.4节的处理方式，首先考虑如下的标称线性控制系统

设计一个无记忆的状态反馈控制器

可以得到如下的闭环系统

这里可将所谓的H∞控制问题表述为：给定一个标量γ>0，设计一个形式为式（2.5.2）的状态反馈控制器，使得闭环系统（2.5.3）是随机可容许的，而且对于任意的非零ω∈L2[0,∞)，在0初始条件下满足下面的H∞性能

根据定理2.3.3，可以得到状态反馈H∞控制器的存在条件和设计方法。

定理2.5.1：对于给定的标量d>0、γ>0，如果存在标量λi>0、适当维数的正定矩阵Q、W和适当维数的矩阵Yi、Li（i=1,2,…,N）满足

那么系统（2.5.1）存在一个状态反馈H∞控制器，使得闭环系统（2.5.3）是随机可容许的且满足H∞性能指标γ。式中

当上面的条件成立时，系统（2.5.1）的状态反馈H∞控制器可以表示为

证明：用AKi=Ai+BiKi和CKi=Ci+DiKi分别替换式（2.3.17）中的Ai与Ci，然后用类似于定理2.4.1的证明方法可以证明该定理。

下面将所获得的关于标称系统的结论（定理2.5.1）推广到具有时变结构的不确定系统（2.2.1）。

定理2.5.2：对于给定的标量d>0、γ>0，如果存在标量λi>0、εi>0和适当维数的正定矩阵Q、W以及适当维数的矩阵Yi、Li（i=1,2,…,N），满足式（2.5.5）、式（2.5.6）和如下的不等式，那么系统（2.2.1）存在一个状态反馈H∞控制器，使得在控制器（2.5.2）的作用下的闭环系统（2.2.1）是随机可容许的且满足H∞性能指标γ

式中

当上面的条件成立时，系统（2.5.1）的状态反馈H∞控制器可以表示为

证明：用、、、、、、、分别替换式（2.5.7）中的、、、、、、和，用类似于定理2.3.4的证明方法，定理可以得证。

如果设定定理2.5.1和定理2.5.2中的矩阵（ε是一充分小的正数），那么可以将定理2.5.1和定理2.5.2推广为时滞无关的鲁棒随机可容许准则。

推论2.5.1：对于给定的标量d>0、γ>0，如果存在标量λi>0和适当维数的正定矩阵Q以及适当维数的矩阵Yi、Li（i=1,2,…,N），满足式（2.5.5）、式（2.5.6）和如下的不等式，那么系统（2.5.1）存在一个状态反馈H∞控制器，使得闭环系统（2.5.3）是随机可容许的且满足H∞性能指标γ

式中

当上面的条件成立时，系统（2.5.1）的状态反馈H∞控制器可以表示为

推论2.5.2：对于给定的标量d>0、γ>0，如果存在标量λi>0、εi>0和适当维数的正定矩阵Q、W以及适当维数的矩阵Yi、Li（i=1,2,…,N），满足式（2.5.5）、式（2.5.6）和如下的不等式，那么系统（2.2.1）存在一个状态反馈H∞控制器，使得在控制器（2.5.2）的作用下的闭环系统（2.2.1）是随机可容许的且满足H∞性能指标γ

式中

当上面的条件成立时，系统（2.5.1）的状态反馈H∞控制器可以表示为

注记2.5.1：对于广义Markov跳变系统，Xu S和Lam J讨论了连续Markov跳变系统的H∞控制问题[10]。然而Xu S和Lam J所讨论的系统没有考虑时滞及不确定性。如果忽略定理2.5.1中与时滞及不确定性相关的某些项，那么定理2.5.1可以简化为文献[10]中的定理10.4，因此定理2.5.1也可以视为文献[10]中定理10.4向时滞及其时变结构的推广。