第一节 展开放样

一、展开作图

（一）展开作图方法

展开作图实质是求得需展开构件各表面的实形并依次展开，以便考虑板厚处理。展开作图方法有图解法（平行线法、放射线法和三角形法）、计算法、公式展开法、软件贴合形体法、经验展开法。图解法和计算法的原理如下。

（1）图解法

图解法是运用“投影原理”把三维空间形体各表面实体摊平到一个平面上，如图2-1所示。

（2）计算法

计算法是运用“解析计算”方法，把三维空间形体各表面展开所需的线段实长或曲线建立数学表达式，而后绘出展开图，如图2-2所示。

（二）空间直线段的位置

求构件各表面的实形时，往往会遇到需先求出平面各边长的问题。空间直线段的三种位置见表2-1。

（三）工件圆周等分数

表2-2为圆管直径和等分数。

（四）等分垂直高度计算

等分垂直高度计算如图2-3（a） ～ （g）所示。

二、直线段实长的求法

图解法中经常会遇到求直线段实长的问题，所以要掌握其方法。由于一般位置直线的三面投影都不反映实长，所以要通过下述投影改造的方法来求。V为垂直面，H为正投影中水平面。求一般位置线段实长的方法有：直角三角形法、换面法、旋转法和计算法等。部分方法的原理和作图步骤见表2-3。

三、截交线画法

平面与立体表面相交，可以看作是立体表面被平面切割，如图2-4所示为平面与立体表面相交，切割立体的平面P称为截平面，截平面与立体表面的交线ⅠⅡ、ⅡⅢ、ⅢⅠ为截交线，截交线所围成的平面图形△ⅠⅡⅢ称为截断面。平面与立体表面相交可以分为以下两种情形。

（一）平面与平面立体相交

这种截交线是由平面折线组成的封闭多边形。折线的各边是平面立体各棱线与截平面的交线，其各点则是平面立体各棱线与截平面的交点。因此，求作平面时，立体的截交线可有两种方法：一种是求各棱面与截平面的交线—棱面法；另一种是求各棱线与截平面的交点并依次连接—棱线法。

它们的实质都是求立体表面与截平面的共有线、共有点。作图时，两种方法可结合应用。例如求正垂面P与正三棱锥相交的截交线，如图2-5所示。P为正垂面，正面投影PV有积聚性。

① 用棱线法直接求出P平面与sa、sb、sc各棱的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′。

② 分别求出各点的水平投影1、2、3。其中点Ⅱ所在的sb棱为侧平线，不能直接求出该点的水平投影2。

③ 为求得点Ⅱ的水平投影，过点Ⅱ在sbc棱面上作水平辅助线。即引2′2′′平行于b′c′，再由2″引垂线与sc相交（图2-5中未注符号）。

④ 由sc交点引与bc平行的线交sb于2点。连接1、2、3、1即为所求截交线的水平投影。若截交线所在的表面可见，则截交线可见；反之则不可见。

求截断面△ⅠⅡⅢ的实形，可采用一次换面法。

（二）平面与曲面立体相交

平面与曲面立体相交，其截交线为平面曲线。曲线上的每一点都是平面与曲面立体表面的共有点。所以，要求截交线，就必须找出一系列共有点，然后用光滑曲线把这些点的同名投影连接起来，即得所求截交线的投影。作曲面立体的截交线，有如下两种基本方法。

素线法，即在曲面体上取若干素线，求每条素线与截平面的交点，然后依次相连成截交线；纬线法，在曲面体（一般为回转体）上取若干纬线（一般为平行于投影面的圆），求每条纬线与截平面的交点，然后依次相连成截交线。

常见的曲面基本几何体的截切情况如下。

（1）圆柱

平面截切圆柱时，由于平面对圆柱轴线的相对位置不同，其截交线可有三种情况，见表2-4。

圆柱被正垂面P截切时的截交线投影如图2-6所示。

由于截平面与圆柱轴线倾斜，所以截交线是椭圆。截交线的正面投影积聚于PV，水平投影积聚于圆周。侧面投影在一般情况下为一椭圆，需通过取素线求点的方法作出。

先求出特殊点，截交线的最左点和最右点（同时也是最低点和最高点）的正面投影1′、5′，是圆柱左右轮廓线与PV的交点；其侧面投影1″、5″位于圆柱轴线上，可按视图的主视图、左视图“高平齐”的规律求得，1″5″为椭圆短轴。截交线的最前点与最后点（两点重影）的正面投影3′位于轴线与PV的交点；其侧面投影3″、3″点在左视图的轮廓线上，3″3″是椭圆长轴。按主视图、左视图“高平齐”和俯视图、左视图“宽相等”的投影关系求出截交线上一般位置若干点的正面投影2′、4′和侧面投影2″、2″、4″、4″。通过各点连成椭圆曲线（3″1″3″为可见，3″5″3″为不可见）。同样，用换面法可求得截断面实形1°2°3°4°5°4°3°2°1°，也为一椭圆。

（2）圆锥

圆锥截交线随截平面与圆锥面的相对位置不同而不同，一般有五种，见表2-5。

例如，圆锥被正垂面P截切时的截交线的投影和截断面实形，如图2-7所示。

截平面P与圆锥所有素线相交，截交线为一椭圆。截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚于PV，而水平投影仍为椭圆。为了找出椭圆上任意点的投影，可用素线或纬线法。

先求出特殊点，P平面与圆锥母线交点的正面投影1′、5′为椭圆长轴的两端点，其水平投影在俯视图水平中心线上，按“长对正”投影关系直接画出为1、5。短轴为正垂线垂直于正投影面，在1′5′线的中点3′，过3′向锥顶引素线，并画出素线的水平投影，则3′点的水平投影必在该素线的水平投影上，可按“长对正”求得短轴两端点的水平投影3、3。为了画出截交线的水平投影—椭圆，还需求出一般位置若干点的投影，即在主视图截交线，以3′点为中心，左右对称截取2′、4′两点（不在各线段的中点），同样用素线法求出各点的水平投影2、4，通过各点连成椭圆曲线得截交线的水平投影。截交线的侧面投影仍为椭圆。可根据截交线的正面投影和水平投影，按“高平齐、宽相等”的投影关系求点画出。

截断面实形为椭圆，可用换面法求得。

四、相贯线画法

多个形体互相贯穿交接时，其表面上产生的交线称为相贯线。相贯线的形状各异，但都具有两个特性：一是两形体表面的共有线，也是两形体的分界线；二是封闭的（图2-8）。由于相贯线是相交两形体表面的共有线和分界线，于是可将其一一展开。

求相贯线的实质就是在两形体的表面上，找出一定数量的共有点，并依次连接。相贯线的求法主要有素线法、辅助平面法和球面法。

（1）素线法

本法是依据相贯线是两形体表面共有线这一特性，从相贯线的积聚投影分点引素线求出相贯线的另一投影。现以求异径正交三通管的相贯线为例，其作图步骤如下（图2-9）：

① 画出相贯线的最高点（即主视图中的左、右端点）的正面投影1′、1′和水平投影1、1；

② 画出相贯线最前点的水平投影3，在支管断面竖直直径上，其正面投影3′点，可由侧视图上3″按“高平齐”的关系求出；

③ 按俯视图、左视图“宽相等”原则，通过2、2求得其侧面投影2″、2″；

④ 根据2、2″点求得其一般点的正面投影2′、2′；

⑤ 连接各点得相贯线1′3′1′即为所求。

相贯线的简便画法如图2-10所示。上述求相贯线的作图方法是通过俯视图支管断面等分点及其对应的侧面投影求出其正面投影。为简化作图过程，实际工作中求这类构件的相贯线多不画出俯视图和左视图，而是在主视图中画出支管1/2断面并作若干等分取代俯视图；同时在主管轴线任意端画出两管1/2同心断面；再分支管断面为相同等份；将各等分点按主视图支管断面等分点旋转90°，投影至主管断面圆周上，取代俯视图、左视图“宽相等”的投影关系。

（2）辅助平面法

其原理也是根据相贯线是相交两形体表面的共有线和分界线这一特性，它适用于截交线为简单几何图形（平行线、三角形、长方形、圆）的情况。

现以求圆管与圆锥管水平相交的相贯线为例，其作图步骤，如图2-11所示：

① 按已知尺寸画出相贯体三面视图，8等分左视图圆管断面圆周，等分点为1″、2″、3″、4″、5″、4″、3″、2″；

② 由等分点引水平线得与主视图轮廓交点，由圆锥母线各交点引下垂线交俯视图水平中心线上各点；

③ 以s为圆心，以它到各交点距离为半径画出三个同心圆，得与圆管断面圆周等分点转向所引素线的水平投影交点为2、3、4；

④ 由2、3、4点引上垂线，与前所引各水平线（纬线）对应交点2′、3′、4′为相贯线上一般点和最前点的正面投影；

⑤ 连接各点得相贯线1′3′5′即为所求（水平投影313为可见曲线；353为不可见曲线）。

（3）球面法

本方法特别适用于求回转体在倾斜相交情况下的相贯线，其基本原理与辅助平面法基本相同，用的截平面是通过球内截切相贯体以获得共有点。

现以求圆管斜交圆锥的相贯线为例，说明其作图步骤（如图2-12所示）：

① 以两回转体轴线交点O为中心（球心），以适当长度R₁、R₂为半径，画两同心圆弧（球面）与两回转轮廓线分别相交；

② 在各回转体内分别连接各弧的弦线，对应交点为2、3；

③ 连接各点得134即为所求。

交圆锥的相贯线

回转体相贯线一般为空间曲线，在特殊情况下可为平面曲线。例如，当两个外切于同一球面的任意回转体相贯时，其相贯线为平面曲线（椭圆）。图2-13为两回转体的轴线都平行于某个投影面，则相贯线在该面上的投影为相交两直线，图2-14为等径圆管弯头及三通管的相贯线。

五、断面实形的求法与应用

求取断面实形是展开放样的重要内容之一，它与断面实形图既有联系，又有不同。前者一般是指截平面沿基本形体轴线垂直或平行截切所得图形；而一般所说的断面图，多数指构件的端面视图，它是作构件展开图时确定周长伸直长度的依据。

通常运用求截交线的投影法求构件的截断面实形，现以求矩形锥筒内四角角钢角度为例说明，如图2-15（a）所示。

由于矩形锥筒内各侧面交线为一般位置线，在各面投影都不反映实长，所以要用二次换面法。作图步骤如下：

① 按已知尺寸画出主视图和俯视图，由俯视图AB线上任意点2，引AB的垂线得与底断面两边交点1、3，由1、2、3点引上垂线，得与主视图底边和A′B′交点为l′、2′、3′ （A′），令2′点至底边高度为h，1′2′3′ （A′）表示俯视图A角两面的局部视图；

② 用一次换面法求两面交线实长，在俯视图13延长线上，取1″ （3″）2″等于主视图h，由1″引1″2″的垂线，与由A引AB的垂线交于A″，则2″A″即为两面交线部分实长；

③ 用二次换面法求两面交角，在2″A″延长线上作垂线22°，与由l″（3″）引与2″A″平行线交点为2，取1°2、23°等于俯视图12（等于a）、23（等于b），得1°、3°点，连接1°2°、2°3°，则∠1°2°3°即为所求相邻两面交角，也就是角钢两面应有的角度，若在俯视图中取22°等于夹角实形图22°，则△123与△1°2°3°全等。

为简化作图步骤，实际工作中只需通过一次换面法便可在俯视图中求出两面交角，如图2-15（b）所示。

六、板厚处理

当板厚大于1.5mm、零件尺寸要求精确时，作展开图就要对板厚进行处理，其主要内容是构件的展开长度、高度及相贯构件的接口等。

（一）板料弯曲中性层位置的确定

板料或型材弯曲时，在外层伸长与内层缩短的层面之间，存在一个长度保持不变的中性层。根据这一特点，就可以用它来作为计算展开长度的依据。当弯曲半径较大时，中性层位于其厚度的二分之一处。

在塑性弯曲过程中，中性层的位置与弯曲半径r和板厚t的比值有关。当r/t＞8时，中性层几乎与板料中性层重合，否则靠近弯曲中心的内侧。相对弯曲半径r/t愈小，中性层离弯板内侧愈近。

中性层的位置可用其弯曲半径ρ表示，ρ由经验公式确定：

ρ=r＋Kt

式中 r—工件内弯曲半径，mm；

t—板料厚度，mm；

K—中性层位移系数，板料弯曲和棒料弯曲的中性层位移系数分别见表2-6和表2-7。

注： d为棒料直径，mm。

（二）不同构件的板厚处理

不同构件的板厚处理见表2-8。

（三）相贯件的板厚处理

相贯件的板厚处理，除需解决各形体展开尺寸的问题外，还要处理好形体相贯的接口线。板厚处理的一般原则是：展开长度以构件的中性层尺寸为准，展开图中曲线高度是以构件接触处的高度为准。

（1）等径直角弯头

圆管弯头的板厚处理，应分别从断面的内、外圆引素线作展开。即两管里皮接触部分，以圆管里皮高度为准，从断面的内圆引素线；外皮接触部分，以圆管外皮高度为准，从断面的外圆引素线；中间则取圆管的板厚中性层高度。作图步骤如下：

① 据已知尺寸画出两节弯头的主视图和断面图，如图2-17所示；

② 4等分内外断面半圆周（等分点为1、2、3、4、5），由等分点向上引垂线，得与结合线1′5′交点；

③ 作展开图，在主视图底口延长线上截取线11等于π （D–t），并将之8等分，由等分点向上引垂线，与由结合线各点向右所引水平线对应交点连成光滑曲线，即得弯头展开图。

（2）异径直交三通管

图2-18是异径直交三通管。当考虑板厚时，由左视图可知，支管的里皮与主管的外皮

相接触，所以支管展开图中各素线长以里皮高度为准；主管孔的展开长度以主管接触部分的中性层尺寸为准；大小圆管的展开长度均按各管的平均直径计算。