第三节 地基中的附加应力

新增荷载在地基土体中引起的应力称为附加应力。在求解地基中的附加应力时，假定地基土是连续、均匀、各向同性的半无限完全弹性体，然后根据弹性理论的基本公式进行计算。根据不同地基中应力分布的特点，将附加应力的计算分为空间问题和平面问题两大类。

一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力

1885年法国学者布辛涅斯克（J.Boussinesq）用弹性理论推导得出半空间弹性体表面作用有竖向集中力P时，在弹性体内任一点M所产生的应力解析解。以P的作用点为坐标原点，P的作用线为Z轴，建立如图3-8所示的三维坐标系，M点坐标为（x，y，z）。

图3-8 竖向集中荷载作用下的应力

布辛涅斯克用弹性理论推导得出M点的六个附加应力分量，即σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy、τ_yz、τ_zx六个分量的表达式。其中，对建筑地基沉降计算直接有关的是竖向法向应力分量σ_z，σ_z的表达式为

式中 R——M点至坐标原点O的距离；

θ——OM与OZ之间的夹角。

由式（3-10）计算，可绘出土中附加应力分别沿水平向和竖直向的分布图以及σ_z的等值线图。从图中可知在集中力作用下，附加应力σ_z的分布规律。

地面下任一深度的水平面上，距离地面越深，附加应力的分布范围越广，在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小，如图3-9（Z轴左侧）所示；同一竖向线上的附加应力随深度而变化，在集中力作用线上，当z=0时，σ_z→∞，随着深度增加，σ_z逐渐减小，如图3-9（Z轴右侧）所示；剖面图上的附加应力等值线如图3-10所示，在空间上附加应力等值面呈泡状，称应力泡。

图3-9 集中力作用下土中σ_z的分布

图3-10 土中σ_z等值线

从上述分析可知，竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低，这种现象称为应力扩散。

图3-11 两个集中力作用下σ_z的叠加

图3-12 垂直均布荷载作用时角点下的附加应力

当土体表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，如图3-11中的a线和b线。然后根据应力叠加原理求出附加应力的总和，如图3-11中的c线所示。

二、矩形基础地基中的附加应力计算

矩形基础长度为l，基础宽度为b，当l/b＜10，其地基附加应力计算问题属于空间问题。下面按基底荷载分布的不同形式介绍附加应力计算。

（一）垂直均布荷载

竖向均布荷载p作用于矩形基底，以基底角点为原点，建立如图3-12坐标系。在基底面取微面积dxdy，该微面积上作用荷载dp=pdxdy可被当作集中力，将dp代入布辛涅斯克解式（3-10），沿长度l和宽度b两个方向二重积分，可求得角点下任一深度z处M点的附加应力。

将式（3-11）简写成

式中 K_c——垂直均布荷载下矩形基底角点下的竖向附加应力系数，无量纲，K_c=f（m，n），可由表3-1查得。

计算中必须注意，l为基础长边，b为基础短边，z是从基底面起算的深度，p为基底附加压力。

对于矩形基础内外任一点基底下的附加应力计算，可利用式（3-12）和应力叠加原理求解，称为“角点法”。利用角点法计算下列情况下的地基附加应力：

（1）矩形荷载面内任一点o之下的附加应力，如图3-13（a）所示，即

图3-13 角点法的应用

（2）矩形荷载面边缘上任一点o之下的附加应力，如图3-13（b）所示，即

（3）矩形荷载面边缘外一点o之下的附加应力，如图3-13（c）所示，即

式中 Ⅰ——ofbg；

Ⅲ——oecg.

（4）矩形荷载面外任一点o之下的附加应力，如图3-13（d）所示，即

式中 Ⅰ——ohce；

Ⅱ——ogde;

Ⅲ——ohbf.

（二）垂直三角形分布荷载

矩形基底上作用有垂直三角形分布荷载，其最大荷载强度为p_t，将荷载强度为零的角点1作为坐标原点，如图3-14所示，同样，在荷载面积上取集中力

代入布辛涅斯克解式（3-10），用积分法求得零角点1下任一深度z处M点的附加应力为

其中

图3-14 三角形分布荷载作用时角点下的附加应力

式中 K_t1——垂直三角形分布荷载作用矩形基底零角点1下竖向附加应力系数，无量纲，K_t1=f（m，n），可由表3-2查得，其中m=l/b，n=z/b。

同理，荷载强度最大值角点2下任一深度z处M点的附加应力为

式中 K_t2——矩形基底荷载强度最大值角点2下竖向附加应力系数，无量纲，K_t2=f（m，n），可由表3-2查得，其中m=l/b，n=z/b。

计算中必须注意，b为沿荷载变化方向矩形基底边长，l为矩形基底另一边长；同理，计算中可利用角点法。

图3-15 水平均布荷载作用角点下的附加应力

（三）水平均布荷载

矩形基底作用有水平均布荷载p_h，如图3-15所示，水平荷载起始边角点1下任一深度z处竖向附加应力为

水平荷载终止边角点2下任一深度z处的竖向附加应力为

其中

式中 K_h——水平均布荷载作用矩形基底角点下竖向附加应力系数，无量纲，K_h=f（m，n），可由表3-3查得，其中m=l/b，n=z/b。

计算中必须注意，b为沿水平荷载作用方向矩形基底边长，l为矩形基底另一边长；同理，计算中可利用角点法。

【例3-2】 有两相邻基础A和B，其尺寸、相对位置及基底附加压力分布见图3-16（a）。若考虑相邻荷载的影响，试求A基础底面中心点o下2m处的竖向附加应力。

图3-16 ［例3-2］附图

解：

（1）求基础A引起的附加应力。将基础A分为如图3-16（b）所示的4个小矩形，矩形长l=1m，宽b=1m，由m=1，n=2查表3-2得K_c=0.0840；则

（2）求基础B引起的附加应力。将基础B分为如图3-16（b）所示的Ⅰ（oabc）、Ⅱ（odec）、Ⅲ（oafg）、Ⅳ（odhg）4个矩形

矩形Ⅰ由m=1.0、n=0.5，查表3-1得K_c1=0.2315，矩形Ⅱ由m=4.0、n=2.0，查得K_c2=0.1350，矩形Ⅲ由m=2.0、n=1.0，查得K_c3=0.1999，矩形Ⅳ由m=2.0、n=2.0，查得K_c4=0.1202。

（3）求基础A和B共同引起的附加应力，即

三、条形基础地基中的附加应力计算

当基础底面长宽比l/b→∞时，称为条形基础。若基底面作用有沿长度方向均布的荷载，在土中垂直于长度方向任一截面附加应力分布规律是相同的，且沿长度方向上地基应变和位移均为0，此时，地基中的应力状态属于平面问题。

实际工程中不存在l/b→∞的条形基础，研究表明，当基础的长宽比l/b≥10时，将其视为平面问题计算的附加压力结果误差甚微。墙基、路基、挡土墙等地基均可按平面问题计算地基中的附加应力。

（一）竖向均布线荷载

当竖向均布线荷载p作用于地基土体表面，地基中任一点M的附加应力解答可由布辛涅斯克解式（3-10）通过积分得到，该解答称为弗拉曼解。如图3-17所示，在线荷载上取微分长度dy，作用其上的荷载pdy可看作集中力，则在地基内M点引起的竖向附加应力为

图3-17 竖向均布线荷载下地基附加应力

图3-18 垂直均布条形荷载下地基附加应力

（二）垂直均布条形荷载

宽度为b的条形基底上作用有均布荷载p，垂直于基础长度方向任意截取一截面，将宽度b的中点作为坐标原点，如图3-18所示，则在微条dξ上作用有线荷载dp=pdξ，将其代入式（3-19）在宽度b内进行积分，可求得基底下任一深度z处竖向附加应力为

式中 K_sz——条形基底作用垂直均布荷载时竖向附加应力系数，无量纲，K_sz=f（m，n），可由表3-4查得，其中m=x/b，n=z/b。

（三）垂直三角形分布条形荷载

当条形基础上受垂直三角形分布荷载作用，荷载最大强度为p_t，取零荷载处为坐标原点，以荷载增大方向为X正向，如图3-19所示，同样，在微条dξ上作用有线荷载dp=（ξ/b）p_tdξ，应用弗拉曼解在宽度b内进行积分可得

式中 K_tz——条形基底作用垂直三角形分布荷载时竖向附加应力系数，可由表3-6查得。

图3-19 三角形分布竖向条形荷载下地基附加应力

图3-20 水平均布条形荷载下地基附加应力

（四）水平均布条形荷载

当条形基底上作用有水平均布荷载p_h，如图3-20所示，同样可以利用弹性理论求水平线荷载对地基中任意点M所引起的附加应力，然后沿整个宽度积分可求得M点的附加应力为

式中 K_hz——条形基底作用水平均布荷载时竖向附加应力系数，可由表3-7查得。

【例3-3】 某条形地基，如图3-21（a）所示。基础上作用荷载F=400kN/m，M₁=20kN·m，试求基础中点下的附加应力，并绘制附加应力分布图。

图3-21 ［例3-3］附图

解：（1）求基底附加压力。

基础及上覆土重为

偏心矩为

基底压力为

基底附加压力为

（2）基础中点下的附加应力。将梯形分布的附加应力视为作用于地基上的荷载，并分成均布和三角形分布两部分，其中均布荷载p₀=112.6kPa，三角形荷载P_0t=292.0-112.6=179.4（kPa），如图3-21（a）所示。

分别计算z=0m、0.5m、1.0m、2.0m、3.0m、4.0m、5.0m处的附加应力，计算结果列于表3-7。附加应力分布图，绘于图3-21（b）。