任务三　拉(压)杆件的变形及胡克定律

一、拉(压)杆的变形

(一)纵向变形

直杆在轴向拉力作用下,将引起轴向尺寸的伸长和横向尺寸的缩短。反之,在轴向压力作用下,将引起轴向的缩短和横向的增大。

设等直杆的原长为l(图4-8),横截面面积为A,在轴向拉力F作用下,变形后长度由l变为l1。杆件在轴线方向的伸长为

Δl称为绝对纵向变形或总变形,单位为m或mm。Δl与杆件的原长度l有关,为了消除长度的影响,确切反映杆件的变形程度,引入相对变形概念(单位长度杆的伸长量),即纵向线应变为

式中：ε是无量纲的量。

(二)横向变形

设杆原横向尺寸为d,受拉变形后缩小为d1(图4-8),则杆的横向尺寸缩小为Δd＝d1-d,Δd称为绝对横向变形或总变形,单位为m或mm,而相应的横向线应变为

式中：横向线应变ε'也是无量纲的量。

一般规定：Δl、Δd以伸长为正,缩短为负；ε和ε'的正负号分别与Δl和Δd一致。所以,轴向线应变ε与横向线应变ε'的符号恒相反。

实验结果表明,当受拉(压)杆的应力不超过某一限度时,横向线应变ε'与轴向线应变ε之比的绝对值为一常数：

式中：ν称为横向变形系数或泊松比,它也是无量纲的量。由于ε'和ε的符号相反,故

二、胡克定律

实验表明：当杆的应力不超过某一限度(强性极限)时,杆的伸长(缩短)Δl与杆所受的外力F和杆长l成正比,而与杆横截面面积成反比,即

引入比例系数E,则有

式(4-8)称为胡克定律。式中比例系数E称为弹性模量,反映材料在拉伸(压缩)时抵抗弹性变形的能力,其量纲为[力]/[长度]2,常用单位是Pa,E值随材料而异。EA反映杆件抵抗拉伸(压缩)变形的能力,称为杆的抗拉(压)刚度。将式(4-2)和式(4-5)代入式(4-8)可得胡克定律的另一表达式：

胡克定律可简述为：当杆的应力不超过某一限度时,应力与应变成正比。

E与ν都是表示材料弹性性质的常数,可由实验测定。几种常用材料的E、ν值见表4-1。

【例4-4】　一截面为正方形的阶梯形砖柱,由上、下两段组成。其各段长度、截面尺寸和受力情况如图4-9所示。已知材料的弹性模量E＝0.03×105MPa,外力F＝50kN,试求砖柱顶的位移。

解：顶点A向下位移等于全柱的总缩长度,即

计算结果为负,说明柱顶向下移动2.3mm。