任务三　平面一般力系的合成

平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内但不都汇交于一点也不都互相平行的力系,又称为平面任意力系。如图2-9(a)所示屋架,屋架受重力荷载F1、风荷载F2及支座反力FAx、FAy、FB的作用,这些力的作用线都在屋架的平面内,组成一个平面力系,如图2-9(b)所示。

又如图2-10(a)所示水坝,通常取单位长度的坝段进行受力分析,并将坝段所受的重力、水压力和地基反力简化为作用于坝段对称平面内的一个平面力系,如图2-10(b)所示。本任务将讨论平面一般力系的合成问题。

一、平面一般力系的简化

设在某刚体上作用一平面任意力系F1,F2,…,Fn,如图2-11(a)所示。在力系所在平面内选一点O作为简化中心。根据力的平移定理,将力系中各力向简化中心O点平移,同时附加相应的力偶,于是原力系就等效地变换为作用于简化中心O点的平面汇交力系,,,…,和力偶矩分别为m1,m2,…,mn的力偶组成的附加平面力偶[图2-11(b)]。其中,＝F1,＝F2,…,＝Fn；m1＝mO(F1),m2＝mO(F2),…,mn＝mO(Fn)。分别将这两个力系合成,如图2-11(c)所示。

(一)主矢

作用在简化中心的平面汇交力系可以合成为一个合力,合力为

即合力矢等于原力系所有各力的矢量和。力矢称为原力系的主矢,其大小和方向可用解析法计算。主矢在直角坐标轴上的投影为

则

(二)主矩

附加平面力偶系可以合成为一个合力偶,合力偶矩为

即合力偶矩等于原力系所有各力对简化中心O力矩的代数和。mO称为原力系对简化中心的主矩。显然,主矩的大小和转向与简化中心位置有关。应当注意的是,一般情况下,向O点简化所得的主矢或主矩,并不是原力系的合力或合力偶,它们中的任何一个并不与原力系等效。

二、平面一般力系的简化结果讨论

平面一般力系简化的结果有四种情况,见表2-1。

由表2-1可见,平面一般力系简化的最终结果,可归纳为三种情况：①合成为一个力；②合成为一个力偶；③力系平衡。

【例2-3】　如图2-12所示,一桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力F1＝1940kN,F2＝800kN,以及机车传来的制动力FH＝193kN。桥墩自重W＝5280kN,风荷载FW＝140kN,各力的作用线如图2-12(a)所示。求这些力向基础中心O简化的最终结果。

解：以桥墩基础中心O为简化中心,以点O为原点取直角坐标系xOy,如图2-12(b)所示,主矢的大小和方向计算如下：

得主矢大小为

主矢的方向为

因均为负值,所以应在第三象限。

力系对O点的主矩为

因≠0,m0≠0,故此力系简化的最后结果是一个合力FR,它的大小和方向与主矢相同,作用线的位置可由力的平移定理推出,得

因为主矩为正值(即逆时针转动),故合力FR在简化中心的左边点处,如图2-12(b)所示。该合力FR全部由基础承受,根据此合力可进行基础强度校核,并进一步研究基础的沉降和桥墩的稳定问题。