4.2 单闭环直流调速系统的动态分析

4.2.1 ASR为比例调节器时的单闭环直流调速系统的动态分析

将图2-32中的转速调节器ASR设计成比例调节器，可得到采用比例调节器的单闭环直流调速系统的动态结构图，如图4-3所示。

1.系统的开环与闭环传递函数

依据图4-3，设I_L（s）=0，只考虑转速给定作用，可求得单闭环直流调速系统的开环传递函数为

式中，K=K_pK_sα/C_e。

闭环传递函数为

2.系统的稳定条件

由式（4-5）可知，系统的特征方程

写成一般表达式为

式中，a₀=；a₁=；a₂=；a₃=1。

根据三阶系统的劳斯判据，系统稳定的充分必要条件是

a₀>0，a₁>0，a₂>0，a₃>0，a₁a₂-a₀a₃>0

式（4-6）的各项系数显然都是大于零的，因此稳定条件就只有

或

（T_l+T_s）（T_m+T_s）>（1+K）T_lT_s

整理后得

式中，K_cr称为系统的临界放大系数，当K≥K_cr时，系统将不稳定。对于一个自动控制系统来说，稳定性是系统能否正常工作的必要条件，这是在设计时必须首先保证的。

【例4-1】对于V-M系统，将其构成转速单闭环调速系统，已知：电动机额定数据10kW、220V、55A、1000r/min，电枢电路电阻R_a=0.18Ω。晶闸管整流装置采用三相桥式全控整流电路，电枢电路总电感为L=2.16mH，电枢电路总电路1.0Ω，整流器放大系数K_s=44，整个系统的飞轮惯量为GD²=78N·m²，试分析系统的稳定性。

解：计算系统各时间常数

为保证系统稳定，根据式（4-8），系统的开环放大系数应为

若已知：Δn_op=275，Δn_cl=2.63。

当要求D=20，静差率s≤5%时，则系统的开环放大系数应该为

可见，为使系统稳定，希望K<67，为了满足系统的静态特性要求，应该使K>103.6。可见，稳态精度和动态稳定性的要求是矛盾的，为了满足生产工艺要求，两者必须相互兼顾。一般如果不是刻意追求控制精度的情况下，为了保证系统工作稳定、响应快速而没有超调，理论和实践都表明调节器应采用纯比例调节器。

3.扰动引起的稳态误差分析

因为调速系统属于恒值自动控制系统，所以讨论这类系统的给定输入稳态误差必要性不是很大，因此就应用而言，研究扰动引起的稳态误差对调速系统来说才是有意义的。只考虑扰动作用，则图4-3可以改画为图4-4的形式。

对于一个调速系统来说，稳态误差是指扰动（例如负载）作用下被控制量（转速）在稳态下的变化差。

在分析由扰动引起的稳态误差时，令（s）=0。系统的误差为

当突加负载时（扰动为阶跃信号），I_dL（s）=，应用终值定理求出t→∞时的稳态误差ΔU_n。

在系统稳定的情况下，式（4-10）表明转速调节器为比例调节器的单闭环直流调速系统对于扰动而言是有稳态误差的，因此转速调节器为比例调节器的单闭环直流调速系统被称为有静差调速系统。

4.2.2 ASR为PI调节器时的单闭环直流调速系统的动态分析

将图2-32中的转速调节器ASR设计成PI调节器，就得到采用PI调节器的单闭环直流调速系统动态结构图，如图4-5所示。图中，W_ASR（s）=K_PI+1/（τ_is）=K_PI（τ_ids+1）/（τ_ids），其中，K_PI为PI调节器的比例放大系数；τ_i为PI调节器的积分时间常数；τ_id为微分项中的超前时间常数。

1.系统的稳定性

（1）系统的开环与闭环传递函数

依据图4-5，设I_L=0，可求得在给定作用下系统的开环传递函数：

闭环传递函数：

式中，K=K_PIK_sα/C_e。

（2）系统的稳定条件

由式（4-12）可知，系统的特征方程为

根据式（4-13）列写劳斯表如下：

根据劳斯判据可知，系统稳定的条件为

由式（4-14）可知，当K、τ_id的组合满足上式时，系统才能稳定。

2.系统的动态分析

（1）起动特性分析

当有电流截止保护，系统可以在阶跃给定下直接起动，图4-6给出了系统的起动波形。起动之初，即图4-6的0～t₁段，电流负反馈被截止，系统中只有和U_n在起作用，此时ΔU_n=-U_n值较大，U_d0迅速上升到较大值，电枢电流也迅速上升并达到临界电流I_dcr。当电流上升到大于I_dcr后，电流负反馈开始起作用，限制电流的上升速度和最大值。另外，电流负反馈还能防止起动电流过早衰减。因为当电流有下降趋势时，电流负反馈信号U_i将要减小，这要使ΔU升高，使直流电压U_d0也升高，以防止电枢电流I_d衰减过快。但总的趋势是，随着转速n的升高，转速负反馈U_n不断增加，这相当于电流给定信号不断减小，所以电枢电流后来还是较快地下降，在t₂时刻减少到临界电流I_dcr。起动后期，即t＞t₂后，I_d＜I_dcr，电流负反馈又被截止，只有转速闭环在起调节作用。由于起动后期电动机反电动势不断升高，电枢电流也随之不断下降，直至降为负载电流I_L，系统进入稳态。很明显，它与理想起动过程（见图4-7）相比，其动态响应特性较差。原因是，这种系统对电动机转矩没有进行有效的控制。

（2）负载扰动时的调节过程

设负载电流为I_L1（I_L1<I_dcr）时电动机稳定运行速度为n₁，对应的整流装置输出电压为U_d01，速度反馈信号U_n=，ΔU=0，系统处于稳定运行状态。如在t₁时刻，负载突然增加，对应的负载电流由原来的I_L1增至I_L2（＜I_dcr），引起电枢电路电阻上的电压降增大，使电动机转速下降，对应的转速反馈值U_n下降，系统出现调节偏差ΔU_n=-U_n，PI调节器开始进行调节作用，调节过程如下：

T_L↑→I_L↑→n↓→|ΔU_n|↑→U_ct↑→U_d0↑→I_d↑→n↑

此过程是靠整流电压U_d0的增加量去补偿由于负载电流增大引起的那部分主电路电阻电压降R（I_L2-I_L1）（见图4-8），以使转速回升。此过程一直延续到转速回升到原来的值n₁为止，此时又有U_n=，ΔU=0，调节器停止积分。但此时调节器输出U_ct已不是原来的那个U_ct1，而是利用这段时间产生的偏差积分值上升到新的值U_ct2。整流电压U_d02也是调节后的U_d0。以上的分析可以看出，无静差只是在稳态意义上的无差，在动态过程中还是有差的。通常希望动态调节过程中最大转速降落Δn_max小一些，系统动态恢复过程快一些（即t_v小些）。

综上所述，积分作用可以把调节过程中的偏差积累起来，稳态时不再靠偏差来维持输出值（ΔU_n=0），因而构成了无静差调速系统。积分作用虽然能消除误差，但动态响应慢。然而采用PI调节器却能兼顾比例控制和积分控制的长处，比例部分能迅速反映偏差，产生强迫的激励电压ΔU_d0，使动态恢复过程加快；依靠积分部分作用最终消除静态误差。

如果只考虑扰动作用，则图4-5可以画为图4-9形式。

1）当ASR采用比例调节器（比例次数为K_p）时，系统的闭环传递函数为

式中，K=αK_pK_s/C_e是系统的开环放大系数。

根据式（4-15），可将Δn（s）写成

突加负载时，I_L（s）=，利用拉普拉斯变换终值定理可求出负载扰动引起的稳态速降

可知，ASR为比例调节器的闭环调速系统是有静差系统。

2）当ASR采用PI调节器时，扰动作用下，引起的稳态误差为

突加负载时为

式（4-18）再次表明，ASR采用PI调节器时，转速单闭环直流调速系统对扰动而言为无静差调速系统。

4.2.3 调节器设计

对电力拖动自动控制系统的基本要求是①系统必须是稳定的；②动态性能好；③稳态精度高。但是在设计闭环调速系统时，常常会遇到静态调速指标与动态品质（性能指标）发生矛盾的情况，这时，就必须通过调节器设计对系统进行动态校正，使其同时满足动态性能指标和静态调速指标的要求。

在电力拖动自动控制系统中，最常用的是采用PID调节器串联校正。对于具有电力电子变换器的直流闭环调速系统来说，由于其传递函数的阶次较低，一般采用PID调节器的串联校正方案。

PID调节器中有比例微分（PD）、比例积分（PI）和比例积分微分（PID）三种类型。由PD调节器构成的超前校正，可提高系统的稳定裕度，并获得足够的快速性，但稳态精度可能受到影响；由PI调节器构成的滞后校正，可以保证稳态精度，却是以对快速性的限制为代价来换取系统稳定的；用PID调节器实现的滞后-超前校正则兼有两者的优点，可以全面提高系统的控制性能，但具体实现与调试要复杂一些。调速系统的要求是以动态品质和稳态精度为主，因而通常主要采用PI调节器；在伺服系统中，快速性是主要要求，须用PD或PID调节器。

在设计调节器时，主要的方法和工具是伯德图（Bode Diagram），即开环对数频率特性。它的绘制方法简便，可以确切地提供稳定性和稳定裕度的信息，而且还能大致衡量闭环系统稳态和动态的性能。正因为如此，伯德图是电力拖动自动控制系统设计和应用中普遍使用的方法。

在实际系统中，动态稳定性不仅必须保证，而且还要一定的裕度，以防参数变化和一些未计入因素的影响。在伯德图上，用来衡量最小相位系统稳定裕度的指标是相角裕度γ和以分贝表示的增益裕度GM。一般要求

γ=30°~60°, GM>6dB

保留适当的稳定裕度，是考虑到实际系统各环节参数发生变化时不致使系统失去稳定。在一般情况下，稳定裕度也能间接反映系统动态过程的平稳性，稳定裕度大，意味着动态过程振荡弱、超调小。

在定性地分析闭环系统性能时，可将伯德图分成低、中、高三个频段，图4-10绘出了自动控制系统的典型伯德图，从其中三个频段的特征可以判断系统的性能，这些特征如下：

1）中频段以-20dB/dec的斜率穿越0dB线，而且这一斜率能覆盖足够的频带宽度，则系统的稳定性好。

2）截止频率（或称剪切频率）ω_c越高，则系统的快速性越好。

3）低频段的斜率陡、增益高，说明系统的稳态精度高。

4）高频段衰减越快，即高频特性负分贝值越低，说明系统抗高频噪声干扰的能力越强。

以上四个方面常常是互相矛盾的。对稳态精度要求很高时，常需要放大系数大，却可能使系统不稳定；加上校正控制作用后，系统稳定了，又可能牺牲快速性；提高截止频率可以加快系统的响应，又容易引入高频干扰；如此等等。设计时往往需用多种手段，反复试凑。在稳、准、快和抗干扰这四个矛盾的方面之间取得折中，才能获得比较满意的结果。采用微处理器数字控制后，控制器不一定是线性的，其结构也不一定是固定的，可以很方便地应用各种控制策略，解决矛盾就容易多了。

具体设计时，首先给出基本的闭环控制系统，或称原始系统。然后，建立原始系统的动态数学模型，画出其伯德图，检查它的稳定性和其他动态性能。如果原始系统不稳定或动态性能不好，就必须配置合适调节器，使校正后的系统全面满足所要求的性能指标。

前已指出，作为调速系统的调节器，如图4-11所示。其输入和输出关系

式中，K_PI为PI调节器比例系数；τ为PI调节器的积分时间常数。

由此可见，PI调节器的输出U_ex由比例和积分两部分叠加而成。

当初始条件为零时，取式（4-19）两侧的拉普拉斯变换，移项后，得PI调节器的传递函数为

令τ₁=K_PIτ,则PI调节器的传递函数也可以写成如下形式

式（4-21）表明，PI调节器也可以用一个积分环节和一个比例微分环节来表示，τ₁是微分项中的超前时间常数，它和积分时间常数τ的物理意义是不同的。

在零初始状态和阶跃输入下，PI调节器输出电压的时间特性如图4-12所示，从这个特性可以看出比例积分作用的物理意义。突加输入电压U_in时，输出电压U_ex首先突跳到K_PIU_in，保证了一定的快速响应。但K_PI是小于稳态性能指标所要求的比例放大系数，因此快速性被压低了，换来对稳定性的保证。如果只有K_PI的比例放大作用，稳态精度必须要受到影响，但现在还有积分部分。在过渡过程中，实现积分作用使U_ex线性地增长，相当于在动态中把放大系数逐渐提高，最终满足稳态精度的要求。如果输入电压U_in一直存在，不断进行积分，直到输出电压U_ex达到限幅值U_exm时为止，当转速上升到给定值时，调节器的U_in=0，积分过程就停止了。

如果采用数字控制，可将式（4-19）的时域方程式离散化成差分方程，用数字PI算法实现，其物理概念也是一样的。

【例4-2】在例4-1中，已经判明，按照稳态调速指标设计的闭环系统是不稳定的。试利用伯德图设计PI调节器，使系统能在保证稳态性能要求下稳定运行。

解：原始系统的开环传递函数表达式

已知T_s=0.00167s，T_l=0.017s，T_m=0.075s，在这里，T_m>4T_l，因此分母中的二次项（T_mT_ls²+T_ms+1）可以分解成两个一次项之积，即

T_mT_ls²+T_ms+1=0.001275s²+0.075s+1=（0.049s+1）（0.026s+1）

闭环系统的开环放大系数取为

于是，原始闭环系统的开环传递函数是

相应的闭环对数幅频及相频特性绘于图4-13，其中三个转折频率（或称交接频率）分别为

而

20lgK=20lg55.58=34.9dB

由图4-13可见，相角裕度γ和增益裕度GM都是负值，所以原始闭环系统不稳定。这和例4-1中用代数判据得到的结论是一致的。

为了使系统稳定，设置PI调节器，设计时须绘出其对数频率特性。考虑到原始系统中已包含了放大系数为K_p的比例调节器，现在换成PI调节器，它的传递函数应为

相应的对数频率特性如图4-14所示。鉴于K_PI<K_p,则1/（K_PIτ）>1/（K_pτ），所以对数幅频特性的低频部分斜率首先是积分环节的-20dB/dec,在频率1/（K_pτ）处穿越0dB线，然后起作用的才是比例微分环节，在1/（K_PIτ）处向上转折，斜率变成0dB/dec。

将图4-13和图4-14画在同一张坐标纸上，然后相加，即得校正后系统的开环对数频率特性。由于必须在确定K_PI和τ值以后，才能具体画出图4-14。实际设计时，一般先根据系统要求的动态性能或稳定裕度，确定校正后的预期对数频率特性，与原始系统特性相减，即得校正环节特性。具体的设计方法是很灵活的，有时需反复试凑，才能得到满意的结果。

对于本例题的闭环调速系统，可以采用比较简便的方法。由于原始系统不稳定，表现为放大系数K过大，截止频率过高，应该设法把它们压下来。因此，把校正环节的转折频率1/（K_PIτ）设置在远低于原始系统截止频率ω_cl处（见图4-15）。为了方便起见，可令K_PIτ=T₁,使校正装置的比例微分项K_PIτs+1与原始系统中时间常数最大的惯性环节1/（T₁s+1）对消（并非必须如此），从而选定K_PIτ=T₁。

其次，为了使校正后的系统具有足够的稳定裕度，它的对数幅频特性应以-20dB/dec的斜率穿越0dB线，必须把图4-15中的原始系统特性①压低，使校正后特性③的截止频率ω_c2<1/T₂。这样，在ω_c2处，应有

L₁=-L₂或L₃=0dB

根据以上两点，校正环节添加部分的特性②就可以确定下来了。由图4-13的原始系统对数幅频和相频特性可知

因此

代入已知数据，得

取K_PIτ=T₁=0.049s，为了使ω_c2<1/T₂=38.5s^-1，取ω_c2=30s^-1，在特性①上查得相应的L₁=31.5dB，因而L₂=-31.5dB。

从特性②可以看出

所以

已知

K_p=21

因此

而且

于是，PI调节器的传递函数为

应该指出，这个设计结果并不是唯一的。

从图4-15可以看出，校正后系统的稳定性指标γ和GM都已变成较大的正值，有足够的稳定裕度，而截止频率从ω_c1=208.9s^-1降到ω_c2=30s^-1，快速性被压低了许多，显然这是一个偏于稳定的方案。

上述借助伯德图设计调节器的方法，须先求出该闭环系统的原始开环对数频率特性，再根据性能指标确定校正后系统的预期特性，经过反复试凑，才能确定调节器的特性，这需要有熟练的设计技巧和经验。于是便产生建立更简单实用的工程设计方法，即调节器的工程设计方法，在20世纪90年代前，在工程设计及工程调试中曾得到较广泛的应用。随着科学技术的进步，电力拖动自动控制系统逐步采用了数字控制方案，在工程中，计算机控制技术及计算机辅助设计已普遍采用。目前，调节器的工程设计都是采用计算机辅助设计完成伯德图的全部计算和绘图工作。以往的调节器的工程设计方法已不再使用。