1.6　期望、方差、协方差、相关系数

1.6.1　期望

在概率论和统计学中，数学期望（简称期望或均值）等于试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，用E表示。它反映随机变量平均取值的大小。

• 线性运算：

• 推广形式：

• 函数期望：设f（x）为x的函数，则f（x）的期望为

• 离散函数：

• 连续函数：

关于期望，请注意以下几点。

（1）函数的期望大于等于期望的函数（Jensen不等式），即。

（2）一般情况下，乘积的期望不等于期望的乘积。

（3）如果x和y相互独立，则。

1.6.2　方差

在概率论中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。方差是一种特殊的期望，用Var表示，离散型随机变量x的方差定义为：

也可表示为：

方差的性质如下：

• 常数的方差为0。

• 方差不满足线性性质。

• 如果x和y相互独立，则

1.6.3　协方差

协方差是衡量两个变量线性相关性程度及变量尺度，用Cov表示，两个随机变量x和y的协方差定义为：

方差是一种特殊的协方差。当x=y时，。

协方差的性质如下。

（1）独立变量的协方差为0。

（2）协方差的计算公式为：

（3）特殊情况下，利用方差及协方差的性质可证得：

1.6.4　相关系数

相关系数是研究变量之间线性相关程度的量，用Corr表示。两个随机变量x和y的相关系数定义为：

相关系数的性质如下。

（1）有界性。相关系数的取值范围是[-1,1]，可以看成无量纲的协方差。

（2）相关系数的值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强；越接近-1，说明负相关性越强；当值为0时，表示两个变量没有相关性。