3.2 复利的终值和现值

复利是计算资金时间价值的一种方法，它和单利相对应。所谓单利是指只对本金计算利息，利息不再算利息。所谓复利也叫“利生利”“利滚利”，是指在计算资金时间价值时，不仅对本金计算利息，也要对利息计算利息。例如，将100元存入银行，年利率6%，存期3年。则按单利计算时间价值时，第一年应获得的利息为100×6%=6（元），第二年和第三年获得的利息均为100×6%=6（元）。期满应获得的本利和为100+3×6=118（元）。如果改按复利计算资金时间价值，则第一年应获得的利息为100×6%=6（元），第二年应获得的利息为（100+6）×6%=6.36（元），第三年应获得的利息为（100+6+6.36）×6%=6.74（元），期满应获得的本利和为100+6+6.36+6.74=119.1（元），按复利计息比按单利计息多获得利息（6+6.36+6.74-6×3）= 1.1（元）。在进行财务决策时，一般用复利来计算资金时间价值。

3.2.1 复利终值的计算

复利终值（Future Value, FV）是指现在某一特定的资金如果投资出去，按复利计算时，将来可获得的价值。也就是说，如果现在投入一定的本金，则按复利计算将来可获得的本利和。

复利终值的计算公式为

式中，PV——现值；

i——利率；

n——计息期数。

复利终值的计算的推导过程为

如果令PV=1，则FVn=（1+i）n，它表示现在投入1元本金，复利率为i，期数为n的复利终值。即现在投入1元钱，经过复利n期后的本利和。复利终值的计算公式中（1+i）n是复利终值系数，为了简化计算，可直接查复利终值系数表（见附表1），来确定不同利率、不同期限的1元本金的复利终值。表中，第一行从左至右，表示利率；第一列从上至下，表示期数。例如，查复利终值系数表，可知，当i=6%, n=8和10时，复利终值系数分别为1.5938和1.7908，复利终值系数的英文为Future Value Interest Factor，可简写为FVIFi,n。另外，由于复利终值系数为FVn/PV，所以也可以将复利终值系数表示为（F/P, i, n），也有的教材将复利终值系数表示为（S/P, i, n）。

【例3-1】 购买面值总额为10000元的债券，期限5年，年利率5%，则按复利计息，到期能收回的本利和为

10000×（1+5%）5=10000×FVIF5%,5=10000×1.2763=12763（元）

事实上，我国对于债券是按单利计息的，如果按单利计息，则到期能收回的本利和为10000×（1+5×5%）=12500（元）。

【例3-2】 现有资金50万元，准备投资出去，以便能在3年后，用本利和购买一栋厂房。已知3年后购买1栋厂房需80万元，问要达到此目的，投资报酬率应为多少？

设投资报酬率为i，则

80=50×（1+i）3=50×FVIFi,3

则：FVIFi,3=1.6，查表知：i=17%。

3.2.2 复利现值的计算

复利现值是复利终值的对称概念，是指将来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值。或者说，为了在将来某一时间取得一定的本利和，按复利计算，现在需投入的本金。也可以将复利现值理解成将来某一金额的资金按复利计算相当于现在的多少资金，和现在的多少资金等效。

复利现值的计算公式可推导如下：

由于FVn=PV（1+i）n，因此可以整理出复利现值的计算公式为

上式中，如果令FVn=1，则表示将来1元钱按照复利率i 、n期折现的现值。式中1（1+i）n叫复利现值系数，为了简化计算，可查复利现值系数表（见附表2）。复利现值系数的英文为Present Value Interest Factor，可简写为PVIFi,n。由于，所以有的教材把复利现值系数表示为（P/F, i, n），也有的教材将复利现值系数表示为（P/S, i, n）。

【例3-3】 某人希望在8年后花200万元买一栋商品房。若某项目的投资报酬率为15%，他现在应一次性投入该项目多少钱？

PV=200×PVIF15%,8=200×0.3269=65.38（万元）

【例3-4】 某人希望在大学毕业时，一次性还清贷款20000元。假设按复利计息，年复利率为3%，学制4年，则他在刚入学时应一次性存入银行多少钱？

PV=20000×PVIF3%,4=20000×0.8885=17770（元）