2.2　颗粒比重对水流挟沙力的影响⁽³⁾

王士强，张　仁

摘要：根据颗粒在水中跃移运动的理论分析及水槽试验资料，推移质颗粒的跃移高度，步长及速度与颗粒比重均非定比关系。随着水流强度的增加及颗粒比重的减小，颗粒比重变化对推移质运动参数及推移质和全沙挟沙力的影响越来越小，这一问题的认识对利用轻质砂进行动床模型试验时的相似律问题以及输送不同比重矿物的管道两相流输沙率等问题都有重要的影响。

2.2.1　引言

颗粒比重是影响水流挟沙力诸因素中的一个重要因素，尤其在动床模型试验中，一般以轻质砂来模拟天然泥沙，因此弄清不同比重颗粒对输沙率的影响十分重要。在管道两相流的输送中，为概括不同比重颗粒的输移规律，这也是一个重要的问题。

迄今众多的水流挟沙力公式中，大多数公式虽然包括了颗粒容重这一因子，但实际上只是符合量纲和谐或基于过分简单的分析，缺乏详细的理论推导，未对不同颗粒比重的影响进行对比试验和研究。这些公式只适合于对天然泥沙的输沙率的估算，利用它们来确定模型相似率和设计模型，是不够合理的。

某些重要的输沙率公式对颗粒比重的影响进行了一定的理论分析或试验研究，如在H. A. Einstein，Meyer-Peter等推移质输沙率的公式中，输沙率q_b与颗粒比重r_s/r就不是定比关系。若输沙率与水流强度均转化为包括颗粒比重的无量纲参数，ϕ=q_b/{D^3/2g^1/2r_s[ (r_s-r)/r]^1/2}，Ψ=(r_s-r) D/（rhs），则几家重要公式都可以化为ϕ与Ψ的函数关系，如图1所示，它们均非直线，说明q_b与r_s/r的关系随水流强度而变。图中包含了不同r_s/r的均匀沙的试验资料，在一般水流强度时，不同r_s/r的点子无明显分歧，但在高强度输沙时，K. C. Wilson的泥沙颗粒试验资料与塑料沙资料就明显分开。Engelund等学者早就指出，这可能是颗粒不同容重的影响造成的。

在一般输沙浓度情况下，床沙、推移质和悬移质三者相互充分交换，所以推移质输沙率与悬移质及全沙输沙率是密切相关的，颗粒比重对三者的影响是一致的。在我国常用的维利卡诺夫形式的悬移质挟沙力公式中，挟沙浓度与r_s/（r_s-r）成正比，这与Meyer-Peter等公式高强度输沙时q_b与r_s/（r_s-r）成正比是完全一致的，但Meyer-Peter等公式并未经高强度输沙时不同r_s/r的试验验证，而Wilson的试验结果却否定了它们在高强度输沙情况下的正确性。

2.2.2　颗粒比重对跃移运动的影响

1. 水中颗粒跃移运动的理论分析

在沙质床面上，且水流强度不太低的情况下，推移质主要以跃移形式运动。分析一个颗粒在起动和跃移过程中的受力情况，即可建立其运动的微分方程，其中，水流向为x，垂直向为y，

式中，F_L为水流上举力；W、W′分别为颗粒重量和颗粒在水下的重量；F_x及F_y为x向的水流拖曳力和y向的水流阻力。和为x向和y向的颗粒加速度。因水流流速及上举力是脉动随机变量，故各跃移参数也是随机变量。根据试验资料，取上举力的概率密度分布为正态分布，跃移步长的概率密度为指数分布。同时根据某些试验，假定颗粒只在完全脱离床面以前才受到水流上举力的作用，在推导过程中不考虑F_x和F_y的相互影响，也不考虑垂线流速分布变化，当推导得出运动方程解以后，考虑到F_x和F_y的相互影响、流速沿高程的变化以及床面边壁对F_y的重要影响，根据试验资料确定了某些系数的影响因子和取值，最后得出的无量纲颗粒平均跃高/D，跃长/D以及速度/u_∗的公式如下^[4]（式中D为颗粒粒径）：

式中，a=2.5ln[30.2（0.5+/D）/2]

B₀则由下式确定：

上列跃移参数/D、/D和/u_∗均为水流强度参数Ψ和颗粒比重r_s/r的函数。如图2和图3所示为r_s/r=4.22、2.68和1.138三种情况下跃移参数和Ψ的理论曲线，图中也绘出了一些试验资料的点据，说明理论关系是基本上符合实际的。图4是三种r_s/r情况下/D与的理论关系。由图2和图3可见，只有在低水流强度（高Ψ值）时，/D，/D与Ψ的关系图中的不同r_s/r曲线才比较接近，随着水流强度增加，同一Ψ值时，r_s/r越小，则/D和/D越小，不同r_s/r的曲线越来越分开。图4是图2中/D关系的变换，在纵坐标中消去r_s/r这一因素，从而可以看出在相同D/（hs）条件下，r_s/r越小，相对的跃高和跃长越大，只有在低水流强度时，（r_s-r）/r_s减小的倍数与hs/D增加相同倍数的作用才是等效的，随着水流强度的增加，颗粒比重的影响越来越小。

2. 颗粒比重对跃移运动影响的试验研究

Francisc进行了r_s/r=1.20～2.86的6种不同颗粒比重的跃移试验，其相对跃移速度/u_∗不仅与ω/u_∗有关，而且与r_s/r有关，其中ω为颗粒沉速，u_∗为摩阻流速。

付晓⁽⁴⁾利用高速摄影对r_s/r=1.11和1.06两种不同比重的塑料颗粒进行了跃移试验研究。图5为根据试验结果得出的/D、/D与Ψ的关系。由图可见，不同r_s/r时，试验点据可分为两条线，相同Ψ时，r_s/r小者，/D及/D也小。这与图2中的理论关系趋势一致，我们将上述r_s/r=1.11和1.06的/D的试验点据转画到图4上，则可发现两种比重的点子合并在一条线上，即高水流强度hs/D时，颗粒比重的差别对跃移高度和步长的影响较小，尤其是对轻质砂，其比重差别影响更小。例如，在付晓实验中，r_s/r=1.11和1.06两种颗粒，其r_s/（r_s-r）相差近一倍，但在较高水流强度时，只要颗粒粒径相同，在相同水流强度时，两者的跃移参数是相近的，并不与r_s/r成正比，这意味着轻质模型砂比重的少许差别对输沙并不会造成重大差别。从图2和图4可以看出，付晓实验中相对跃高的试验成果与作者的理论分析成果完全一致，而相对跃长的试验成果则有所偏离（图2），这可能是由于在试验中未能计及超出摄影范围的大步长的数据，因此水流强度越大，得到的平均跃长比实际跃长偏小越多，在这一方面，还有待根据其他试验资料进行检验。

2.2.3　颗粒比重对水流挟沙力的影响

1. 颗粒比重对推移质挟沙力的影响

在平整床面上，从x=0至∞的范围内取无数个微段，每段长dx，因设颗粒跃长L的概率密度分布为指数分布，故离x=0断面越远的微段内，跃起的颗粒能通过该断面的数量越小，通过x=0断面的单宽推移质输沙率为^[4]

式中，

A₁为推导过程中的待定常数，由实测输沙率资料确定；常系数A=0.0032。上式中，无量纲输沙强度参数ϕ为Ψ与r_s/r的函数。图6中绘出了r_s/r为4.22，2.68和1.138三种不同比重颗粒时的ϕ与Ψ的理论关系曲线，由图可见，它们与大量实测点据符合良好。由图6还可以看到，在低水流强度时（一般为卵石输移阶段），不同r_s/r的曲线几乎互相重叠，随着水流强度增大（Ψ值减小），不同r_s/r的曲线越来越分开，在同一Ψ值时，r_s/r越小，ϕ也越小。在图6中，r_s/r=2.68的理论曲线在高水流强度时与Wilson的天然泥沙试验点群完全符合，而r_s/r=1.138的理论曲线也正好穿过Wilson的r_s/r=1.138的塑料砂的试验点群。显然，颗粒比重对推移质输沙率的这一影响主要是由比重引起颗粒跃高和跃长等的变化所造成的。

在高强度输沙时，Meyer-Peter，Bagnold和Yalin等公式中ϕ均与Ψ^-1.5成比例，用公式绘制的曲线穿过或靠近Wilson的天然泥沙试验点群。而在Einstein公式中，ϕ为与Ψ^-1.0成比例，接近Wilson的塑料砂试验点群，作者的理论分析和大量的实测试验资料表明，在高强度输沙时，对于河流输沙而言，也就是在r_s/r=2.68的情况下，Einstein公式不符合实际输沙情况，而其他公式则符合较好。

由于ϕ与Ψ中都包含了r_s/r的因子，故图6难以清楚地反映出r_s/r对输沙率的影响。图7将图6转换为无量纲输沙率q_b/（D^3/2g^1/2）与水流强度参数D/（hs）的关系，图中绘出了r_s/r为4.22，2.68和1.138的三条理论曲线，由图可见，在相同D/（hs）时，r_s/r越小，则输沙率越大，但随着水流强度增大（D/（hs）值减小），不同r_s/r曲线的差别越来越小，也就是颗粒比重对输沙率的影响越来越小。另外，在同一水流强度D/（hs）条件下，随着r_s/r的减小，r_s/r或r_s/（r_s-r）的变化对q_b的影响越来越小，即不是同倍比的影响，对于图7中列出的几家重要公式，在输沙强度不大的情况下，公式中反映的颗粒比重的影响程度是大体符合实际的，与作者的理论公式也是接近的。但在高水流强度时，从作者的公式和实际资料可以看出，在Meyer-Peter等公式中，颗粒比重对q_b的影响计及过多，尤其是轻质砂，高水流强度时，颗粒比重对q_b的影响实际上比那些公式反映的要小得多，在有些推移质模型设计中，将Meyer-Peter公式中临界起动项忽略，然后认为q_b与r_s/（r_s-r）成正比，这对于输沙强度不大的卵石推移质来说，颗粒比重的影响考虑得比实际过小，而对高强度输送来说，考虑的颗粒比重影响又过大。

2. 颗粒比重对悬移质和全沙挟沙力的影响

在一般含沙浓度情况下，因床沙，推移质和悬移质相互进行交换，故可以认为悬移质底部的浓度和推移质顶部的浓度是相衔接的。根据扩散理论得到的悬移质垂向浓度分布以及对数流速分布公式，即可以得到悬移质的输沙率

式中，P₁为水深H与床沙粒径D₆₅之比的函数；I₁、I₂为/H及悬浮指数Z=ω/（κu_∗）的函数；S_a为推移质顶部的含沙浓度，与q_b/（）成正比。q_s与q_b的关系如下：

据作者分析，K₁约为9.4。由上式可见，颗粒比重除通过对颗粒跃长、跃高的速度影响推移质输沙率外，还通过推移质输沙率影响悬移质输沙率q_s和全沙输沙率q_T。因此，颗粒比重对q_s和q_T的影响，也是随着水流强度增大而减小的。

维利卡诺夫形式的悬沙挟沙力公式中与r_s/（r_s-r）成正比关系。实际上，低水流强度时颗粒比重的影响比此要大，而高水流强度时其影响又比此要小，在悬移质为主的模型设计中普遍地应用此关系是有问题的。

2.2.4　结论

（1）颗粒比重是影响推移质跃高、跃长和速度的一个重要因素，在相同水流强度和粒径条件下，颗粒比重越小，颗粒跃高、跃长和速度越大，但随着水流强度增大或颗粒比重减小，颗粒比重的影响越来越小。

（2）推移质输沙率与颗粒的跃长和速度成正比，在一般含沙浓度时，也与悬移质输沙率成正比。颗粒比重对推移质及悬移质输沙率的影响不是一个定比关系，随着水流强度增大而减小。在同一水流强度时；轻质沙比重变化对输沙率的影响较重质砂比重变化产生的影响要大。

（3）在动床模型设计中，模型比尺的确定需要选用能正确反映颗粒比重影响的水流挟沙力公式。推移质输沙率与r_s不成正比关系。输沙率与r_s/（r_s-r）成正比关系的结论只在中等水流强度的一定范围内大体符合实际。

参考文献

[1] H A Einstein. The bedload function for sediment transportation in open channel flows[R]. US Dept. Agri., Tech. Bull. 1026, 1950.

[2] Meyer-Peter E, R. Müller. Formula for bedload transport[C]. Proc. 2nd congress IAHR, 1948.

[3] Wilson K C. Bed load transport at high shear stress[J]. J. Hyd. Div., ASCE, vol. 92, HY6, 1966.

[4] Wang Shiqiang, Zhang Ren. A new equation of bedload transport[C]. Proc. 22nd congress IAHR, 1987.

[5] Abbott J E, J R D Francis. Saltation and suspension trajectories of solid grains in a water stream[J]. Proc. Royal Soc. London, England, vol. 284, 1977.

The influence of specific weight of grains on sediment transport capacity

Wang Shiqiang, Zhang Ren

Abstract: According to the theoretical analyses and the observations in flume on the saltation of grains in water flow, it is found that the specific weight of grain plays an important role to the factors affecting the height, length and velocity of the grain saltation and the sediment transport capacity of the flow. The saltation parameters increase with the decrease of specific weight of grain but the influence of specific weight will gradually reduce when the relative flow intensity becomes high. The influence of grain specific weight on sediment movement might be very important on the design of hydraulic model if light material is used as model sand.