12.3　无穷小量与无穷大量

本节重点知识：

1.无穷小量及其性质.

2.无穷大量.

3.无穷大量与无穷小量之间的关系.

12.3.1　无穷小量及其性质

定义1　如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，即（或），则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量（简称无穷小）.

注意：

（1）说一个变量是无穷小量，必须指明x的趋近过程；

（2）无穷小量是在某一过程中，以0为极限的变量，而不是绝对值很小的数.

（3）0是可以作为无穷小量的唯一的数.

例1　自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：

解　做出上述四个函数的图像（见图12-31），由图12-31可知：

（1），所以当x→∞时为无穷小.

（2），所以当时（2x-1）为无穷小.

（3），所以当x→-∞时2x为无穷小.

（4），所以当x→+∞时为无穷小.

无穷小的性质

在自变量的同一变换过程中：

（1）有限个无穷小的和是无穷小.

（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

（3）常数与无穷小的乘积是无穷小.

（4）有限个无穷小的乘积也是无穷小.

例2　求.

解　因为且，即有界，所以.

12.3.2　无穷大量

引例　考察当x从1的左右两侧趋近于1时，函数的变化情况.列表（见表12-6）考察.

用图像考察（如图12-32）.从表和图中可知，当x从1的左侧趋近于1时，可以任意小，但绝对值任意大；当x从1的右侧趋近于1时，可以任意大，这时我们就称当x→1时为无穷大量.记为.

定义2　如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的绝对值|f（x）|无限增大，就称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷大量（简称无穷大）记为

注意

（1）说一个变量是无穷大量，必须指明x的趋近过程；

（2）无穷大量是在某一过程中，绝对值无限增大的变量，而不是绝对值很大的数；

（3）如果 ，我们常说当x→x0时函数f（x）的极限是无穷大，此时极限并不存在.

正无穷大与负无穷大

如果当x→x0时，对应的函数值f（x）无限增大，就称函数f（x）为当x→x0时的正无穷大，记为；如果当x→x0，对应的函数值f（x）为负数，且绝对值|f（x）|无限增大，就称函数f（x）为当x→x0时的负无穷大，记为，如图12-33所示.

例3　自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大.

（1）；　　（2）y=ln x；　　（3）y=2x.

解　（1）因为，即x→0时x为无穷小量，所以当x→0时，为无穷大量；

（2）由图12-34（a）可知，当x→0+时，lnx→-∞，当x→+∞时，ln x→+∞，所以当x→0+及x→+∞时，ln x均为无穷大量；

（3）由图12-34（b）可知，当x→+∞时，2x→+∞，所以当x→+∞时，2x为无穷大量.

12.3.3　无穷大与无穷小之间的关系

在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则为无穷大.