任务1.3 复杂直流电路的分析与测试_电工电路分析与实践-QQ阅读女频现言网

上QQ阅读APP看书，第一时间看更新

任务1.3　复杂直流电路的分析与测试

任务描述

仅用欧姆定律不能求解的电路称为复杂电路，为了求解复杂电路，本任务将学习支路电流法、节点电压任务目标法、叠加原理、戴维南定理及其应用与电路测试。

任务目标

理解并掌握支路电流法、节点电压法、叠加原理和戴维南定理；能用支路电流法、节点电压法、叠加原理和戴维南定理求解较复杂电路；能进行复杂直流电路的连接与测试。

任务实施

子任务1　支路电流法的应用与电路测试

〖知识链接〗——学一学

1.支路电流法

以支路电流为未知量，根据基尔霍夫定律和欧姆定律列出所需的方程组，然后解出各未知电流，这就是支路电流法，简称支路法。

以图1-46所示的电路为例来说明支路电流法。在这个电路中，支路数b=6，各支路电流的参考方向如图1-46所示。根据数学知识，需要列出6个彼此独立的方程，才能解出这6个未知电流。如何得到所需的方程组呢？

图1-46　支路电流法举例

首先，列出电路的节点电流方程。

图1-46所示的电路中的节点数n=4，这4个节点分别为a、b、c、d点。根据KCL，列写4个节点电流方程分别为

节点a：I1+I2-I5=0

节点b：-I2+I3+I6=0

节点c：I4+I5-I6=0

节点d：-I1-I3-I4=0

将上述4个方程相加，得恒等式0=0，说明这4个方程中的任何一个均可从其余3个推出。因此，对具有4个节点的电路，应用KCL只能列出4-1=3个独立方程。至于列方程时选哪3个节点作为独立节点，则是任意的。

一般地说，对具有n个节点的电路，运用KCL只能得到n-1个独立方程。

根据KCL得到3个独立的电流方程后，另外3个独立方程可由KVL得到，通常取网孔作为独立回路，列出回路电压方程。如按图1-46所标的各网孔的绕行方向，则列出所需的3个独立回路的电压方程分别为

设网孔1顺时针绕行，则

R1I1+R5I5-R4I4=E1

设网孔2逆时针绕行，则

R2I2+R5I5+R6I6=E2

设网孔3逆时针绕行，则

R3I3-R6I6-R4I4=E3

可以证明：一个电路的网孔数恰好等于b-（n-1）。

运用基尔霍夫定律和欧姆定律，一共可以列出（n-1）+[b-（n-1）]=b个独立方程，所以能解出b个支路电流。

2.支路电流法的应用

利用支路电流法，求解电路的一般步骤如下：

（1）确定支路数，并标注各支路电流及其参考方向。

（2）任取n-1个独立节点，列出n-1个节点电流方程。

（3）选取独立回路（一般选网孔作为独立回路），并确定各独立回路的绕行方向，列出所选独立回路的回路电压方程。

（4）将已知参数代入所列的独立方程，并联立成方程组。

（5）求解方程组，可得所需的支路电流。

例1-10　电路如图1-47所示，已知E1=15V，E2=10V，R1=2Ω，R2=4Ω，R3=12Ω，求电路中的各支路电流。

图1-47　例1-10图

解　（1）假定各支路电流方向如图1-47所示。

（2）由于该电路只有两个节点，故只能列一个节点电流方程，这里取节点a为独立节点，其节点电流方程为

节点a：I1+I2-I3=0

（3）选定两个网孔作为独立回路，并确定网孔1、网孔2均按顺时针方向绕行，列出两个网孔的回路电压方程为

网孔1：R1I1-R2I2=E1-E2

网孔2：R2I2+R3I3=E2

（4）将已知参数代入所列方程，联立成方程组，即

（5）解此方程组可得

I1=1.5A，I2=-0.5A，I3=1A

其中，I2为负值，说明假定方向与实际方向相反。

〖实践操作〗——做一做

在实验电路板上，连接图1-48所示电路。

（1）实验前先任意设定3条支路电流的正方向和3条闭合回路绕行方向，如图1-48中的I1、I2、I3的方向已设定，3条闭合回路的绕行方向可分别设为ADEFA、BADCB和FABCDEF。

图1-48　实验电路图

（2）分别将两路直流稳压源接入电路，令E1=6V，E2=12V。

（3）熟悉电流插头的结构，将电流插头的两端接至数字直流电流表的“+、-”两端。将电流插头分别插入3条支路的3个电流插座中，读出电流值并填入表1-14中。

（4）用万用表分别测量两路电源及电阻元件上的电压值，将测量数据填入表1-14中。

（5）根据测量的数据，选定实验电路中的任何一条闭合回路，验证KVL的正确性，并进行误差分析。

（6）根据图1-48中的电路参数，计算出待测的电流I1、I2、I3和各电阻元件上的电压值，填入表1-14中，以便实验测量时可正确地选定毫安表和电压表的量程。

表1-14　基尔霍夫定律的测量数据

〖问题研讨〗——想一想

（1）直流电表在什么情况下可能出现指针反偏？应如何处理？在记录数据时应注意什么？若用直流数字毫安表进行测量时，则会有什么显示？

（2）如果电路中既含有电压源，又含有电流源，如何用支路电流法求解各支路电流或各元件两端的电压？

子任务2　节点电压法的应用与电路测试

〖知识链接〗——学一学

1.节点电压法

节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的一种方法，它不仅适用于平面电路，同时也适用于非平面电路。

在电路的n个节点中，任选一个节点为参考点，把其余的（n-1）个节点对参考点的电压，称为该节点的节点电压。电路中所有支路两端的电压都可以用节点电压来表示。电路中的支路分成两种：一种接在独立节点和参考节点之间，它的支路两端的电压就是节点电压；另一种接在各独立节点之间，它的支路两端的电压则是两个节点电压之差。

如能求出各节点电压，就能求出各支路两端的电压及其他待求量。要求（n-1）个节点电压，需要（n-1）个独立方程。用节点电压代替支路两端的电压，已满足KVL的约束，只需要列KCL的约束方程即可，而所能列出的独立的KCL方程正好是（n-1）个。

以图1-49为例，独立节点数为n-1=2。选取各支路电流的参考方向，如图1-49所示，对节点1、节点2分别由KCL列出节点电流方程为

图1-49　节点电压法举例

设以节点3为参考点，则节点1、节点2的节点电压分别为U1、U2。

将支路电流用节点电压表示为

将式（1-35）代入式（1-34）中，经移项整理得

式（1-36）就是图1-49所示的电路以节点电压U1、U2为未知量列出的节点电压方程。

将式（1-36）写成

这就是当电路具有3个节点时，电路的节点电压方程的一般形式。

式（1-37）中的左边G11=（G1+G3+G4）、G22=（G2+G3+G4）分别是节点1、节点2相连接的各支路电导之和，称为各节点的自电导，自电导总是正的。G12=G21=-（G3+G4）是连接在节点1与节点2之间的各公共支路的电导之和的负值，称为两相邻节点的互电导，互电导总是负的。

式（1-37）中的右边IS11=（IS1+IS3）、IS22=（IS2-IS3）分别是流入节点1和节点2的各电流源电流的代数和，称为节点电源电流，流入节点的取正号，流出节点的取负号。

上述关系可推广到一般电路，对具有n个节点的电路，其节点电压方程为

当电路中含有电压源支路时，可以采用以下措施：

（1）尽可能取电压源支路的负极性端作为参考点。

（2）把电压源中的电流作为变量列入节点方程，并将其电压与两端节点电压的关系作为补充方程一并求解。

2.节点电压法的应用

（1）在电路中任意选某一节点为参考点，则其余节点与参考点间的电压就是独立的节点电压，因此有（n-1）个独立节点。

（2）对（n-1）个独立节点，以节点电压为未知量，列写节点电压方程。

（3）将已知参数代入所列节点电压方程，并联立成方程组，求解节点电压方程组。

（4）根据节点电压求各支路电流。

3.弥尔曼定理

对于只有一个独立节点的电路，如图1-50所示，可用节点电压法直接求出独立节点的电压。

图1-50　只有一个独立节点的电路

对图1-50所示电路，可得节点电压的表达式为

式（1-39）称为弥尔曼定理。

式（1-39）中，为节点电流的代数和。方向流向节点1的，电流为正；从节点1流出的，电流为负。恒流源支路电流等于此恒流源的电流，且流向节点1的，电流为正；从节点1流出的，电流为负，而恒流源支路的电阻对节点电压U10不起作用，在公式中不出现。∑G为各支路电导的和，恒为正值，但要去除含恒流源支路的电导。

例1-11　试用节点电压法求图1-51所示电路中的各支路电流。

解　取节点0为参考节点，节点1、节点2的节点电压为U1、U2，根据式（1-37）得

解之得：U1=6V，U2=12V。

取各支路电流的参考方向，如图1-51所示。根据支路电流与节点电压的关系有

例1-12　应用弥尔曼定理求图1-52所示电路中的各支路电流。

解　本电路只有一个独立节点，设节点1的电压为U10，由式（1-39）得

设各支路电流I1、I2、I3的参考方向如图1-52所示，求得各支路电流为

图1-51　例1-11图

图1-52　例1-12图

〖实践操作〗——做一做

按图1-48所示电路接线，改变E2的极性，用直流电压表测量电压UAD，当E1=6V时，调节E2从0逐渐增大，UAD的大小会随之改变，当E2达到某一值时，UAD的方向会改变，请从理论上分析其原因。

〖问题研讨〗——想一想

如果电路中含有理想电压源支路，如何列写节点电压方程？

子任务3　叠加原理的应用与电路测试

〖知识链接〗——学一学

1.叠加原理

叠加原理是线性电路的一个重要原理，它反映出线性电路中各激励作用独立性的基本性质。叠加原理可叙述为：在线性电路中，所有独立源共同作用产生的响应（电流、电压），等于各独立源单独作用产生响应（电流、电压）的代数和。对不作用的独立源以零值处理，即恒压源短路、恒流源开路，但内阻保留。

下面通过图1-53（a）中R2支路电流I为例说明叠加原理在线性电路中的体现。

图1-53　叠加原理举例

图1-53（a）是一个含有两个独立源的线性电路，根据弥尔曼定理，可得电路两个节点间的电压为

R2支路电流为

图1-53（b）是电压源US单独作用下的情况。此情况下电流源作用为零，零电流源相当于无限大电阻（即开路）。US单独作用下R2支路电流为

图1-53（c）是电流源IS单独作用下的情况。此情况下电压源作用为零，零电压源相当于零电阻（即短路）。IS单独作用下R2支路电流为

所有独立源作用时，R2支路电流的代数和为

对I′取正号，是因为它的参考方向选择得与I的参考方向一致；对I″取负号，是因为它的参考方向选择得与I的参考方向相反。

应用叠加原理分析电路时应注意以下几点：

（1）叠加原理适用于多电源的线性电路，分成多个单电源电路，使分析大为简化。

（2）要注意电压、电流的参考方向。若各电源单独作用时的电压、电流方向与原电路中的电压、电流方向一致，则取正号；否则则取负号。

（3）电功率和电能的计算不能应用叠加原理，因为它们和电流（电压）之间不是线性关系，而是二次方关系。

（4）电路中存在受控源时，受控源不能按独立源处理。独立源可以单独作用，受控源在叠加过程中一般应保留在电路中，注意到其控制关系即可，然后将计算结果叠加。

（5）根据具体电路，各独立源也可以分批作用。

（6）某电源单独作用时，其他电源均应按零值处理。零值恒压源相当于短路，而零值恒流源相当于开路，但保留其内阻。

2.叠加原理的应用

运用叠加原理解题和分析电路的基本步骤如下：

（1）分解电路：将多个独立源共同作用的电路分解成一个（或几个）独立源作用的分电路，每一个分电路中，不作用的电源按零值处理，并将待求的电压、电流的正方向在原电路、分电路中标出。

（2）求解每一个分电路：分电路往往是比较简单的电路，有时可由电阻的连接及基本定律直接求解。

（3）叠加：原电路中待求的电压、电流等各分电路中对应求出的量的代数和。

例1-13　在图1-54（a）所示的桥形电路中，已知R1=2Ω，R2=1Ω，R3=3Ω，R4=0.5Ω，US=4.5V，IS=1A。试用叠加原理求电压源的电流I和电流源的端电压U。

解（1）当电压源单独作用时，电流源开路，如图1-54（b）所示，各支路电流分别为

电流源支路的端电压U′为

（2）当电流源单独作用时，电压源短路，如图1-54（c）所示，各支路电流分别为

图1-54　例1-13的图

电流源的端电压U″为

U″=R1I″1+R2I″2=（2×0.6+1×0.333）V=1.5333V

（3）两个独立源共同作用时，电压源的电流为

I=I′+I″=（3.9+0.267）A=4.167A

电流源的端电压为

U=U′+U″=（-1.2+1.5333）V=0.333V

〖实践操作〗——做一做

按图1-55所示电路连接线路。

（1）令E1电源单独作用，用万用表和毫安表（接电流插头）测量各支路电流及各电阻元件两端电压，数据填入表1-15中。

（2）令E2电源单独作用，重复上述的测量，将测量数据填入表1-15中。

（3）令E1和E2电源共同作用，重复上述的测量，将测量数据填入表1-15中。

表1-15　叠加原理的测量数据

图1-55　验证叠加原理电路

〖问题研讨〗——想一想

（1）叠加原理实验中，让各电源分别单独作用，应如何操作？可否直接将不作用的电源置零（短接）？

（2）各电阻元件所消耗的功率能否用叠加原理计算得出？为什么？试用上述实验数据，进行计算并得出结论。

子任务4　戴维南定理的应用与电路测试

〖知识链接〗——学一学

1.戴维南定理

支路电流法、节点电压法和叠加原理都可以计算出电路的全部响应，但在实际工作中，经常只需要计算某一负载中的响应，这时应用戴维南定理具有特殊的优越性。

把一个电路或网络（网络通常指较为复杂的电路）所要计算响应的支路断开，剩余部分是一个含有电源，只有两个端子的网络，即有源二端网络。对所需要计算的这条支路来说，有源二端网络相当于一个电源。戴维南定理给出了有源二端网络等效电路的一般性结论，为确定等效电压源的参数（E′和）提供了简明的解析方法和实验方法，它是线性电路中又一重要定理。