1.6 极限存在准则及两个重要极限无穷小的比较_高等数学（独立院校用）·上册-QQ阅读女频现言网

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1.6　极限存在准则及两个重要极限　无穷小的比较

本节将继续探讨某些特殊函数求极限的求法.为此先要介绍两个判定极限存在的准则，并用这两个准则推导两个重要极限和；然后介绍如何利用重要极限求一些函数的极限；最后介绍无穷小比较的概念及性质，并用这个性质给出一种求极限的新方法.

1.6.1　极限存在准则及两个重要极限

准则I（夹逼原理）　设有数列{an}，{bn}，{cn}满足：

（1）∃N∈N+，当n＞N时，an≤cn≤bn；

（2）

则数列{cn}收敛于a，即

证明　∀ε＞0，因为，故存在N1∈N+，使得当n＞N1时，|an-a|＜ε，因为，所以，对前面的ε＞0，存在N2∈N+，使得当n＞N2时，|bn-a|＜ε.

取N=max{N1，N2}，当n＞N时，有n＞N1，N2，从而|an-a|＜ε与|bn-a|＜ε同时成立，即a-ε＜an＜a+ε，a-ε＜bn＜a+ε同时成立，则a-ε＜an≤cn≤bn＜a+ε，从而有|cn-a|＜ε，所以

这个原理不仅给出了判定数列收敛的方法，而且也提供了求极限的一种方法，在具体的使用过程中，数列{an}与{bn}需要构造，一般通过对{cn}进行适当的缩放可得到，且

数列极限存在准则Ⅰ可以推广到函数的情形中去.

准则　如果函数f（x），φ（x），g（x）满足条件：

（1）若存在δ＞0，使当0＜|x-x0|＜δ时，f（x）≤φ（x）≤g（x）；

（2）

则φ（x）的极限存在，且

证明　若，则∀ε＞0，∃δ1＞0，当0＜|x-x0|＜δ1时，|f（x）-A|＜ε，|g（x）-A|＜ε.即A-ε＜f（x），g（x）＜A+ε.由已知，令δ′=min{δ，δ1}，当0＜|x-x0|＜δ′时，A-ε＜φ（x）＜A+ε，即|φ（x）-A|＜ε，故

利用夹逼准则可证明第一个重要极限

证明　因为x→0，故不妨设.当时，作一单位圆，如图1-12所示.

图1-12

设圆心角∠AOB=x，，过点A作AD⊥OA且与OB的延长线相交于D，则sin x=BC，，tan x=AD.

因为SΔAOB＜S扇形AOB＜SΔAOD，故得

由sin x＞0，两端同时除以sin x得或

从而

当时，，可得

故，当时，有，由夹逼准则得

【例1】　求

【例2】　求

【例3】　求极限

由复合函数极限运算法则知，一般地，若x→a时，函数φ（x）→0，则有

第一个重要极限：

准则Ⅱ　单调有界数列必有极限

若数列{xn}满足：x1≤x2≤…≤xn≤…或x1≥x2≥…≥xn≥…，则称{xn}为单调数列.前者称为单调增加数列，后者称为单调减少数列.（单调数列实则为单调不增或单调不减数列）

有界数列未必收敛，但可以证明，若加强条件为“单调有界”，就可以得到收敛的结果.这个准则的证明已超出本书的知识范围，但从几何直观上是不难理解的.极限反映了收敛数列一般项的变化趋势，并非每个数列都有极限.但对单调数列来说，单调性决定其变化趋势总是确定的：要么发散至无穷，这时必无界；要么与某常数无限接近，这时必收敛.

下面利用准则Ⅱ证明第二个重要极限

证明　先证x取正整数且x→+∞的情形：设

①由二项式定理知

类似地有

比较上面两式，除前两项外，xn的每一项都小于xn+1的对应项，另外xn+1还多了最后一项，且此项为正值.因此，xn＜xn+1，即数列{xn}单调增加.

②再证{xn}有上界.在上式中，从第二项开始用1代替每项中括号内的数，并利用不等式2k-1＜k！（k＞2），可知

由①和②可知，数列{xn}收敛，记其极限值为e，即 .e类似无理数π，这个极限的数值e也是个常用的重要的常数.

若x→+∞，则∀x＞0，∃正整数n和n+1，使n≤x＜n+1，则

于是，我们有

再由夹逼准则知

若x→-∞，令x=-（t+1），则当x→-∞时，t→+∞，故

第二个重要极限：

计算无理数e的近似值，可以用产生它的数列来计算；只要n取得充分大，就可以达到任意精确的程度.人们业已使用计算机求出了e的小数点后有几万位的近似值.常用的近似值是e=2.718281828.这个极限不仅在数学理论上十分重要，在其他实际应用方面，如复利的计算、细胞的繁殖、树木的生长、镭的衰变等问题中，常被用来描述事物生长或消失的数量规律.