第3章　高周疲劳强度设计方法

试样和零件在高于10⁴～10⁵次载荷循环而产生的疲劳，称为高周疲劳。对于高周疲劳通常采用常规疲劳强度设计方法。

常规疲劳强度设计是以名义应力为基本设计参数的抗疲劳设计方法，也称名义应力法。它是假设零构件没有初始裂纹，应用标准试样试验得到的疲劳极限、S-N曲线及疲劳极限图等，再考虑零构件由于尺寸、表面状态及几何形状引起的应力集中等影响因素而进行的疲劳强度设计。把S-N曲线用双对数坐标表示时，是由两根直线组成的折线。按水平线部分进行设计称无限寿命设计；按斜线部分进行设计称有限寿命设计。

无限寿命设计要求零构件在无限长的使用期间内不发生疲劳破坏。因此要将零构件的工作应力限制在它的疲劳极限以下，得到的零构件的寿命在理论上是无限的。用这种准则进行设计常造成零构件结构尺寸大，过于笨重。但对于长时间运转的零构件，仍是一个较好的设计准则。

有限寿命设计，也称安全寿命设计。它保证机器在一定使用期限内安全运行，所以它允许零构件的工作应力超过其疲劳极限。其基本依据是材料或零构件的S-N曲线的斜线部分。计算的重点是零构件的裂纹形成寿命。这种设计准则能充分利用材料的承载能力，减小零构件的截面尺寸，减轻重量。对于如飞机、汽车等要求减轻重量、更新速度快的产品有重要意义。

对于有限寿命设计来说，疲劳损伤累积理论是其重要依据。而对于无限寿命设计则主要是计算其安全系数。安全系数法的基本思想是：机械结构在承受外载荷后，计算得到的应力应该小于该结构材料的许用应力。

3.1　材料的常规疲劳性能数据

3.1.1　材料疲劳极限

表28-3-1～表28-3-3是一些国产材料的疲劳极限。表28-3-4是常用铝合金材料的疲劳极限。

当缺乏疲劳极限的试验数值时，采用经验公式估算。

（1）对于结构钢的对称循环应力的疲劳极限

拉压　σ_-1l=0.23（R_eL+R_m）

弯曲　σ_-1=0.27（R_eL+R_m）

扭转　τ_-1=0.15（R_eL+R_m）

（2）对于结构钢的脉动循环应力的疲劳极限

拉压　σ_0l=1.42σ_-1

弯曲　σ₀=1.33σ_-1

扭转　τ₀=1.50τ_-1

（3）对于铸铁的疲劳极限

拉压　σ_-1l=0.4R_m　σ_0l=1.42σ_-1l

弯曲　σ_-1=0.45R_m　σ₀=1.33σ_-1

扭转　τ_-1=0.36R_m　τ₀=1.35τ_-1

（4）对于球墨铸铁的疲劳极限

τ_-1=0.26R_m

（5）对于铝合金的疲劳极限

σ_-1l=R_m/6+75

σ_-1=R_m/6+75

σ_0l=1.5σ_-1l

（6）对于青铜的弯曲疲劳极限

σ_-1=0.21R_m

3.1.2　材料的S-N曲线

图28-3-1～图28-3-47是金属材料的S-N曲线。钢材的图注中，δ表示板材厚度，ϕ表示棒材的直径。铝合金尾部字母B表示预拉伸加工硬化；T4表示固溶热处理后自然时效；T6表示固溶热处理后人工时效。

热处理：T6状态

材料　R_m=538MPa

轴向加载，σ_m=69MPa，137MPa，206MPa

用常规方法作出的S-N曲线，只能代表中值疲劳寿命与应力水平间的关系（即存活率p=50%），要得到各种存活率下的疲劳寿命与应力水平间的关系，则必须用p-S-N曲线。

在利用对数正态分布或威布尔分布求出不同应力水平下的p-N曲线以后，将不同存活率下的数据点分别相连，即可得出一族S-N曲线，其中的每条曲线，分别代表某一不同存活率下的应力-寿命关系。这种以应力为纵坐标，以存活率p的疲劳寿命为横坐标，所绘出的一族存活率-应力-寿命曲线，称为p-S-N曲线。

图28-3-48～图28-3-67是常用金属材料的p-S-N曲线。

3.1.3　疲劳安全系数

一般的疲劳强度计算中，许用安全系数推荐用表28-3-5的数值。表28-3-6为初算时的安全系数荐用值。表28-3-7为各类机械零部件的安全系数。

表中所用符号：n_bp=R_m/σ_p；n_sp=R_eL/σ_p；n_-1p=σ_-1/σ_p；n_0p=σ₀/σ_p（其中，R_m——材料的抗拉强度；R_eL——材料的屈服强度；σ_-1——对称循环疲劳极限；σ₀——脉动循环疲劳极限；下角p为“许用”）。校核零件的疲劳强度，必须使它同时满足静强度要求。

3.2　无限寿命设计

3.2.1　单向应力状态下的无限寿命设计

零部件受单向循环应力，是指只承受单向正应力或单向切应力。例如，只承受单向拉压循环应力、弯曲循环应力或扭转循环应力。在单向循环应力下工作的零部件很多，如高炉上料机的钢丝绳受单向波动拉伸应力，曲柄压力机的连杆受单向脉动应力。只承受弯曲力矩的心轴，转动时表面上各点的应力状态是对称循环弯曲应力等。

3.2.1.1　计算公式

表28-3-8列出了不同受载情况下单向应力时安全系数的计算公式。

表28-3-8计算公式中的符号含义如下。

n_σ、n_τ ——计算的安全系数；

σ_-1、τ_-1 ——材料在对称循环下的疲劳极限，弯曲时为σ_-1，拉压时为σ_-1l，扭转时为τ_-1；

K_σ、K_τ——弯曲和扭转时的有效应力集中系数；

ε——尺寸系数；

β——表面系数；

ψ_σ、ψ_τ——不对称循环系数，一般计算式为ψ_σ=（2σ_-1-σ₀）/σ₀，ψ_τ=（2τ_-1-τ₀）/τ₀；

σ₀、τ₀——弯曲和扭转时的脉动循环疲劳极限；

σ_i、τ_i ——作用于试样上的第i个应力水平；

n_i——第i个应力水平σ_i或τ_i作用时的循环数；

σ_max、τ_max——载荷谱中的最大应力；

N₀——无限寿命的最小循环数，即循环基数；

N——总寿命，即整个工作循环数；

m——材料常数，即S-N曲线在对数坐标中的倾斜率的负值，即m=-lgN_i/lgσ_i；

N_i——在应力水平σ_i作用下，材料达到疲劳破坏的循环数；

σ_di、τ_di——第i个当量应力，计算式为

为简化计算，也可用保守的计算式

一般情况，表28-3-8中变幅循环公式只用于有限寿命设计时单向应力安全系数的计算。无限寿命设计时，可只考虑最大应力。

值得注意的是，表28-3-8中的公式认为有效应力集中系数K_σ（K_τ）、尺寸系数ε和表面系数β三者相互独立，其对疲劳强度的综合影响呈线性关系。因其表达式简单，在工程上得到广泛应用。但实际上，三者并不是相互独立的。例如零件的应力集中较大或表面粗糙度较高时，其尺寸效应就会被削弱。此时，可采用如下非线性公式：

或

式中　K_a——综合影响系数。

3.2.1.2　设计实例

如图28-3-68所示为轴。载荷F为对称循环载荷，F=50000MPa，轴材料为45钢，调质。表面加工方法为精车，校核A—A截面的疲劳强度。

解：1）计算公式。因载荷是等幅对称循环，故用公式

2）求σ_a。该轴为简支梁，故A—A截面的应力为

3）求σ_-1。查表28-3-1，材料为45钢，调质状态时，σ_-1=388MPa，R_m=710MPa

4）求K_σ。查图28-2-5，K_σ≈1.7。

5）求ε。查图28-2-34，当d=60mm，45钢的ε=0.825

6）求β。表面加工方法为精车，故β=β₁

查图28-2-35，当R_m=710MPa及精车时β₁=0.92

7）求n_σ

故该轴A—A截面的疲劳强度符合要求。

3.2.2　复杂应力状态下的无限寿命设计

在复杂应力情况下，把多向应力转化成单向应力，然后利用上述的单向应力设计方法进行设计。变形能强度理论及最大切应力理论是将多向应力状态与单向应力状态联系起来，比较符合实际的理论。这里根据变形能强度理论，把多向应力转化成单向当量应力，其计算公式为

当量应力幅

　　（28-3-1）

当量平均应力

　　（28-3-2）

式中　σ_a1、σ_a2、σ_a3——主应力幅；

σ_m1、σ_m2、σ_m3——主应力幅方向的平均应力。

对于二向应力状态，公式可简化为

　　（28-3-3）

有了这两个当量应力后，可以运用单向应力计算公式进行设计。

在二向应力状态时，最常见的承受弯曲和扭转复合循环应力作用的传动轴和曲轴等的设计中，常采用下面的公式计算其安全系数，即

　　（28-3-4）

这里的n_σ和n_τ，就是上述的单向弯曲和单向扭转状态下的安全系数（参见表28-3-8）。

3.2.3　连接件的疲劳寿命估算——应力严重系数法

应力严重系数法也是一种名义应力法，但它不用结构的S-N曲线，而是在对结构的应力集中情况进行精确的应力分布计算的基础上，综合考虑表面质量等方面的因素得到综合反映应力集中等影响疲劳特性的各个因素的应力严重系数（SSF）。用它作为“等效理论应力集中系数”。然后根据不同理论应力集中系数的S-N曲线确定对应于结构的S-N曲线，并以此为基础计算结构的疲劳寿命。

应力严重系数法可以不用结构的S-N曲线，费用较低。但是要求疲劳严重系数的计算应比较精确。否则，应力严重系数的较小误差将导致计算出的疲劳寿命的巨大误差。目前该方法主要应用于连接件的疲劳寿命设计。它要求对结构的连接件作细节分析，包括各紧固件所传递的载荷。连接件的疲劳特性在很大程度上受孔的加工情况、紧固件的形式和装配技术等影响。

定义应力严重系数为

SSF=αβK_ta　　（28-3-5）

式中　K_ta——应力集中系数；

α——孔表面质量系数，见表28-3-9；

β——孔填充系数，见表28-3-10。

现以一个例子介绍应力严重系数法的计算步骤。

有一承受轴向载荷的组合结构，如图28-3-69（a）所示，把其中一个紧固件连接的下面一块板拿出来作为分离体，如图28-3-69（b）所示。板承受钉传载荷ΔP和旁路载荷P作用。其中旁路载荷P占总载荷P'的72.85%，钉传载荷ΔP占总载荷P'的27.15%，结构参数为：W=91.44mm，t=7.62mm，d=17.52mm。载荷为P'_max=106.97kN，P'_min=20.91kN。

（1）计算最大应力及应力集中系数

最大应力集中处的应力由两部分组成，即旁路载荷P引起的局部最大应力σ₁和钉传载荷ΔP引起的局部应力σ₂（如图28-3-70所示）：

式中　K_tg——带孔板应力集中系数；

K_tb——挤压应力集中系数；

θ——挤压应力分布系数；

d——钉孔直径；

t——板的厚度；

W——板的宽度。

带孔板应力集中系数和挤压应力集中系数都可以从有关应力集中的资料中直接查到。挤压分布系数是考虑孔内侧不均匀挤压的影响，它与板和紧固件材料、连接厚度与紧固件直径之比及紧固件的接头形式等因素有关，一般应由试验得到。在初步设计时，可以近似地采用图28-3-71所给数据。

经查表得到，K_tg=3；K_tb=1.25；θ=1.4。

结构的最大应力为

结构名义应力为

σ_rg=P'/（Wt）

应力集中系数为

（2） 计算应力严重系数（SSF）

查表28-3-9，取α=1；查表28-3-10，β=0.75。应力严重系数为

SSF=αβK_ta=1×0.75×4.66=3.5

（3）计算疲劳寿命

结构的名义疲劳应力为

材料的对应理论应力集中系数为K_t=SSF=3.5，疲劳应力均值为S_m=91.7MPa时的S-N曲线，见图28-3-72。从图中可以查到，对应于疲劳应力幅值S_a=61.76的疲劳寿命为：N=4.7×10⁵。

3.3　有限寿命设计

3.3.1　计算公式

在有限寿命设计中，多向应力状态的处理方法与无限寿命设计的方法是一样的，将它转化为单向当量应力。

安全系数计算公式与无限寿命设计中的公式一样，只是其中有些系数取值不一样。推荐的系数取值列于表28-3-11中。

3.3.2　寿命估算

在进行有限寿命设计时，不但要计算零构件的工作安全系数，还要计算零构件的疲劳寿命。常用的疲劳寿命计算公式列于表28-3-12中。

3.3.3　设计实例

计算一起重机吊钩上端螺纹的疲劳寿命。已知螺纹为M64的标准螺纹，螺纹材料是20钢锻造，其力学性能为：R_m=412MPa，R_eL=245.3MPa。

解：（1）确定载荷

由于吊钩螺纹为松螺纹连接，没有预紧力，所以吊钩挂的重量就是螺纹所受之力。用统计的方法，根据吊钩每天的吊重情况，可确定螺纹上承受的名义应力及每一名义应力作用的次数，见表28-3-13中的第三列及第一列。由统计表可知，吊钩每天工作的总循环数N=144次，每一应力水平的循环数n_i由表中第一列可知，则n_i/N，即各应力水平所占总循环数的百分数见表中第二列。

（2）确定各系数

根据20钢锻造的R_m =412MPa，由表28-2-2得有效应力集中系数K_σ=3.0（估值）

查图28-2-34，得ε=0.85

查图28-2-35，得β =0.88（螺纹为粗车表面）

由此得

螺杆的应力状态是脉动循环变幅应力，将名义应力乘以K_σ/（εβ）=4.0，得表28-3-13中第四列的数据。

（3）确定疲劳极限

20钢的疲劳极限由本章3.1.1中的经验公式求得，即

对于对称拉压

对于脉动拉压

σ_0l=1.42×151.2=214.5 （MPa）

将表28-3-13中第四列数据与疲劳极限比较可知，表中大部分数值超过疲劳极限。因此，这个螺杆的应力变化情况属于有限寿命设计。

（4）确定S-N曲线

因没有20钢的S-N曲线，所以用近似法作S-N曲线。在双对数坐标纸上作两点：一点是N=10³，σ=0.9R_m=0.9×412=170.8MPa；一点是N=10⁷，σ=0.45R_m=185.4MPa。连接该两点得一斜线，即为所求的S-N曲线，如图28-3-73所示。

由图28-3-73的S-N曲线，查出在应力水平σ_i下到达破坏时的循环数N_i，列于表28-3-13中的第五列。由该列的数值可看出，当σ_i<186.4MPa以后，N_i>10⁷。但由经验公式求得的σ_0l=214.5MPa，大于186.4MPa，说明两种假设的近似法之间有误差。本题按表28-3-13中数据计算偏于安全。

假设N_i≥10⁷时，不产生疲劳损伤，则总寿命为

因每天工作循环数为144，则工作天数为

如起重机每年工作360天，则工作年数为

即该起重机吊钩的螺杆部分的寿命为2.09年，如这部分为吊钩的薄弱环节，为保证安全工作，每工作2年后，需要更新。

3.4　频域疲劳寿命分析方法

频域和时域表明了随机信号的两个观察面，即对同一事物观察的方法和角度不同。时域分析是以时间为横坐标表示信号的关系，较为形象和直观；频域分析是把信号以频率轴为坐标表示，更为简练，剖析问题更加深刻和方便。对于描述同一事物来说，它们是相互联系、缺一不可的。借助于傅里叶变换，将连续变化的随机载荷分解为无限多个频率成分，得出其功率谱密度函数，用功率谱密度函数进行疲劳分析的方法叫频域疲劳寿命分析方法。经典疲劳评估方法建立在应力（或应变）的时域分析基础上。应力（或应变）通常由试验或时域中计算结构响应获得。而对于大量的多通道测试数据，想通过瞬态响应获得危险部位的应力应变响应是难以实现的。因此，随着测试技术的发展，频域疲劳寿命估算方法在实际工程应用中受到关注。激励在频域和时域间的转换，对研究频域疲劳评估方法至关重要。

3.4.1　随机过程基本理论

3.4.1.1　信号傅里叶变换

（1）连续信号的傅里叶变换

非周期连续时间信号x（t）与连续的非周期频谱函数X（ω）间的关系如下：

式中，ω=2πf为时间圆频率，单位rad/s；f为时间频率，单位Hz。X（ω）为x（t）的傅里叶变换，x（t）为X（ω）的傅里叶逆变换，两者变换关系成为傅里叶变换对。

（2）离散信号的傅里叶变化

对于非周期连续时间函数，由于计算机不能对连续的函数进行处理，因此在已知连续时域信号x（t）求其频谱时，需先将x（t）进行离散化。同时非周期序列可能是有限长，也可能是无限长，而计算机只能处理有限长序列，故需对无限长序列进行截断。截断后有限长非周期序列可以看做周期性的序列，利用离散傅里叶级数进行计算，得到有限长序列的离散傅里叶变换。

有限长时域序列与有限长频域序列间关系：

3.4.1.2　信号采样定理

（1）时域采样

根据时域采样定理：采样频率f_s（或采样间隔Δt）需要满足：

f_s≥2f_u或Δt≤1/（2f_u）

式中，f_u为频谱分析处理中感兴趣的频率上限。

通常把允许的最低采样频率f_s=2f_u称为奈奎斯特频率。

工程上采样频率大多数采用：

f_s=2.5f_u

（2）频域采样

频域采样定理：

Δf≤1/T

式中，T—为时域周期信号的周期。

3.4.1.3　平稳随机过程

随机过程的概率特性不随时间的平移而改变，称为平稳过程。平稳过程中不同样本函数的均值和自相关值都一样，则此随机过程为各态历经的。对于各态历经的随机过程，按时间平均的均值和自相关函数，以及其他按时间平均的量等于相应的随机过程总体平均。

（1）平稳随机过程功率谱分类

平稳随机过程按功率谱密度图形的形状不同，可以分为平稳窄带随机过程和平稳宽带随机过程。平稳窄带随机过程的频率成分集中在一个狭小的频带上，谱形状呈现一种尖峰状，接近于简谐振动。平稳窄带随机过程还有一个很明显的时域特点：在时域波形中每个波峰与波谷之间的连线必将穿越一次均值线。相比而言，平稳宽带随机过程的频率成分比较分散，频率成分丰富，谱形状平坦，谱形状出现多个峰值，具有很大的随机性。平稳宽带随机过程也有一个很明显的时域特点：在时域波形中波峰与波谷之间的连线不一定穿越均值线，并且至多穿越一次均值线。

典型的平稳窄带和宽带随机过程的时域波形和功率谱密度如图28-3-37所示，图28-3-74（a）表示一种典型平稳窄带随机过程的时域波形，图28-3-74（c）表示一种典型平稳窄带随机过程的功率谱密度；图28-3-74（b）表示一种典型平稳宽带随机过程的时域波形，图28-3-74（d）表示一种典型平稳宽带随机过程的功率谱密度。

（2）平稳随机过程功率谱密度

平稳随机过程的应力响应与激励的功率谱矩阵有：

S_x（ω）=H^*（ω）S_F（ω）H^T（ω）

式中，H（ω）为系统的传递函数矩阵；H^*（ω）为H（ω）的共轭矩阵；S_F（ω）为激励功率谱矩阵；S_x（ω）为应力响应功率谱矩阵。

功率谱密度函数是描述各态历经随机过程的重要参数，随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅里叶变换。一般利用有限长度随机信号样本的傅里叶变换推求自谱密度函数。

对于平稳随机过程，自功率谱密度函数为自相关函数的傅里叶变换，即

其逆变换为

由于工程实际中仅对频率ω>0有定义，称为单边功率谱，记作G_x（f）

3.4.1.4　平稳随机过程谱参数

在时域中，常用一些统计参数来描述一个随机应力应变时间历程中1s的样本，E［0］为样本中自下而上穿越均值的次数，E［P］为样本中出现峰值的次数，不规则因子为：

γ=E［0］/E［P］

这些统计参量可以通过功率谱密度函数的n阶惯性矩m_n换算得到。惯性矩即为功率谱密度函数曲线下包括的面积。则功率谱密度函数的n阶惯性矩为：

式中，G（f）为某频率处的单边PSD值。

由各阶惯性矩可得：

则不规则因子：

当不规则因子γ接近0时，平稳随机过程是宽带随机过程，当不规则因子γ接近1时，平稳过程是窄带随机过程，特别地，当不规则因子γ=1时，平稳过程是理想的窄带过程，即单频的简谐波。

3.4.2　频域疲劳寿命分析方法

3.4.2.1　窄带随机载荷疲劳寿命分析

关于窄带随机载荷寿命估算已提出很多理论和模型，最实用性的是Bendat提出的基于PSD信号求疲劳寿命的方法。一个窄带信号随着带宽的降低，波峰的概率密度函数（PDF）趋向于一个瑞利（Rayleigh）分布（用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型）。同时在应力范围内概率密度函数也会趋向于一个瑞利分布。

用PSD曲线下的惯性矩估计预期的波峰数来预测寿命：

　　（28-3-6）

式中，N（S）为发生在T时间内应力幅值为S的循环次数。

将S-N曲线公式和Miner线性累积损伤公式代入式（28-3-6），并令D=1，推导出构件发生破坏时的总循环数：

　　（28-3-7）

3.4.2.2　宽带随机载荷疲劳寿命分析

宽带随机振动的峰值概率密度函数是正态分布和瑞利分布的组合。宽带随机振动的寿命估计有许多方法，但应用最多和最准确的是Dirlik方法。

Dirlik方法是通过运用蒙特卡罗（Monte Carlo）技术做大量的计算机模拟，得出频域信号疲劳分析的经验闭合解。Dirlik法较为复杂，但仍为功率谱密度函数4个惯性矩m₀、m₁、m₂和m₄的一个函数。人们已经发现Dirlik方法具有广泛的应用范围，结果较为理想。由Dirlik经验公式可以求得应力幅值的概率密度函数，为方便起见写成如下形式：

　　（28-3-8）

其中：

　　D₃=1-D₁-D₂

式中，m₀，m₁，m₂，m₄分别为功率谱密度函数的0，1，2，4阶惯性矩；γ为不规则因子。

Dirlik方法的数学表达式：

N（S）=p（S）E［P］T　　（28-3-9）

式中，p（S）为应力幅值的概率密度函数。

设在时间T内应力幅值为S的循环次数为N（S），将S-N曲线公式和Miner线性累积损伤公式代入式（28-3-9）获得构件的疲劳寿命为：

　　（28-3-10）

3.4.3　算例

一个SAE 1008钢制的热轧试件，在随机载荷过程的作用下，如图28-3-75所示为随机过程的功率谱密度函数G（f），其中分别对应于1Hz和10Hz的值为10000MPa²/Hz和2500MPa²/Hz。试件S-N曲线参数为C=1.02×10¹⁷MPa，m=5.56。求该试件的疲劳寿命。

根据功率谱密度的第i阶矩：

计算得到：

m₀=1⁰×10000×1+10⁰×2500×1=12500

m₁=1¹×10000×1+10¹×2500×1=35000

m₂=1²×10000×1+10²×2500×1=260000

m₄=1⁴×10000×1+10⁴×2500×1=25010000

由此得：

于是得到式（28-3-8）中各参数：

得到应力幅值的概率密度函数：

因此发生破坏时构件的寿命为：