第1章　机械零部件疲劳强度与寿命

1.1　零部件疲劳失效与疲劳寿命

1.1.1　疲劳失效及其特点

工程装备中多数机械零部件承受的工作载荷都是随时间而变化的波动载荷。结构零部件在循环载荷作用下，在某个或某些高应力部位产生损伤并逐渐累积，导致性能退化，裂纹萌生、扩展直到完全断裂的失效形式，称为疲劳失效。由于疲劳这种失效机理存在，机械设备及其零部件就有了疲劳寿命的概念，或使用寿命问题。一般规律是，循环应力水平越高，承力零部件的疲劳寿命就越短。

疲劳失效与静强度失效有本质的区别。静强度失效是由于零件的危险截面上的应力大于其抗拉强度导致断裂失效，或大于屈服极限产生过大的残余形变导致失效；疲劳失效是由于零件局部应力最大处在循环应力作用下形成微裂纹，然后逐渐扩展为宏观裂纹，宏观裂纹再继续扩展而最终导致断裂。疲劳失效有如下特点：

1）低应力性。在循环应力的最大值远低于材料的抗拉强度R_m，甚至远低于材料屈服强度R_eL的情况下，疲劳失效就可能发生。

2）突发性。不论是脆性材料还是塑性材料，其疲劳失效在宏观上均表现为无明显塑性变形的脆性突然断裂，即疲劳失效一般表现为低应力脆断。

3）时间性。静强度失效是在一次最大载荷作用下发生的失效；疲劳失效是在循环应力的多次反复作用下损伤逐渐累积产生的，因而要经历一定的时间，甚至很长的时间之后才会发生。

4）敏感性。静强度失效的抗力主要取决于材料本身，而疲劳失效的抗力对零件尺寸、几何形状、表面状态、使用条件以及环境介质等都很敏感。

5）疲劳断口。疲劳失效的宏观断口上，存在疲劳源（比较光滑的疲劳裂纹形核区）、疲劳裂纹扩展区（平滑、波纹状）和瞬断区（粗粒状或纤维状）。

1.1.2　机械零部件常见疲劳失效形式

机械零部件的疲劳失效有高周疲劳、低周疲劳、高温疲劳、热疲劳、腐蚀疲劳等疲劳失效形式。

1）高周疲劳。结构零部件在低于其屈服强度的循环应力作用下，一般经过10⁴～10⁵次以上的应力循环产生的疲劳失效。高周疲劳应力较低，材料处于弹性范围内，也称应力疲劳，它是机械结构与零部件最常见的疲劳形式。

2）低周疲劳。结构零部件在接近或超过其屈服强度的循环应力作用下，在低于10⁴～10⁵次载荷循环下产生的疲劳失效。由于其应力超过了弹性极限，产生较大塑性变形，损伤控制参量是应变，也称为应变疲劳。

3）超高周疲劳。近年来，高速列车、汽车、航天器中的某些核心部件，承受的疲劳循环已达10⁸～10¹⁰次甚至更高。研究结果表明，某些高强钢材料在10⁷次以上的仍会发生疲劳断裂，不存在传统的疲劳极限，称为超高周疲劳失效。

4）高温疲劳。在高温环境下，零件承受循环载荷发生的疲劳失效。高温是指约在材料熔点T_m的50%以上（T_m以绝对温度表示）或再结晶温度以上的温度水平。高温疲劳一般是疲劳与蠕变共同作用的结果。

5）热疲劳。由循环变化的温度引起结构零部件中的应力或应变循环变化，这种循环应力与循环应变产生的疲劳称为热疲劳。

6）腐蚀疲劳。在腐蚀性介质（如酸、碱、海水、淡水、活性气体等）和循环载荷联合作用下产生的疲劳。

1.1.3　疲劳设计准则

结构零部件在较高的循环应力作用下服役，且有使用寿命要求时，需要进行抗疲劳设计。疲劳设计方法有名义应力法、局部应力应变法、损伤容限设计法（断裂力学方法）等。

1.1.3.1　名义应力准则

名义应力准则是以零部件上最大的名义应力值为控制参数进行疲劳强度设计的准则，适用于高周疲劳强度设计。具体做法是，从材料的S-N曲线出发，以零部件上最高应力点的名义应力值为载荷参数，计入有效应力集中系数K_σ、零件尺寸系数ε、表面系数β 和平均应力系数ψ_σ等影响因素，得到零件的S-N曲线，依此进行零部件疲劳强度设计的方法。

当S-N曲线的纵坐标σ和横坐标N都取对数时，一般有如图28-1-1所示的以P为交点的两条直线段组成的折线形S-N曲线。对于钢材，交点的寿命N₀一般在10⁷次左右。该寿命对应的循环应力水平称为疲劳极限。

根据平行于横轴的直线（疲劳极限）进行的设计称为无限寿命设计。根据斜线进行的设计称为有限寿命设计。名义应力法通常也称为常规疲劳设计法。详见本篇第3章。

1.1.3.2　局部应力应变准则

在应力水平较高的场合，零部件局部最大应力处可能会出现塑性屈服现象。这时，只用应力参量已不能很好地表述零部件的疲劳特性。以零部件应力集中处的局部应力、应变为基本设计参数的疲劳强度设计准则，称为局部应力应变准则。零部件的破坏都是从应力集中部位或应力最高处开始的，应力集中处的塑性变形是疲劳裂纹形成和扩展的主要控制参量，因此局部最大应变决定了零部件的疲劳寿命。

根据相同的循环应变产生相同疲劳损伤的原则，可以根据光滑试样的应变-寿命曲线估算零部件危险部位的损伤及寿命，从而得到零部件的疲劳裂纹形成寿命。详见本篇第4章。

1.1.3.3　损伤容限设计准则

机械零部件，尤其是大型零部件，往往存在一定尺寸的初始缺陷甚至初始裂纹。损伤容限设计准则是在承认零部件存在初始裂纹的前提下，应用断裂力学方法来估算其剩余寿命（裂纹扩展寿命），保证在使用期内裂纹不至于扩展到引起破坏的程度，即保证有裂纹的零部件在服役期内的使用安全。详见本篇第5章。

1.1.3.4　多轴疲劳准则

多轴疲劳是指多向应力或应变作用下的疲劳。多轴疲劳损伤发生在多轴循环加载条件下，加载过程中有两个或三个应力（或应变）分量独立地随时间发生周期性变化。这些应力（应变）分量的变化可以是同相位的、按比例的，也可以是非同相的、非比例的。

服役中的各种航空航天飞行器、压力容器、核电站、发电厂以及交通运输工具中的一些主要零件通常是承受复杂的多轴比例与非比例交互循环载荷的作用。早期处理复杂应力状态下的多轴疲劳问题时，常将多轴问题利用静强度理论等效成单轴状态，然后利用单轴疲劳理论处理复杂的多轴疲劳问题。这样的处理方法在处理比例加载下的多轴疲劳问题时是可行的。但对于非比例多轴加载问题，由于非比例加载下的疲劳行为完全不同于单轴或比例多轴疲劳加载下的特性，尤其在非比例变幅加载下，应用传统的单轴疲劳理论来预测其疲劳损伤十分困难。

近年来，预测多轴疲劳寿命的临界平面法得到较快的发展和应用。该方法基于断裂模型及裂纹萌生机理，认为裂纹发生在某一特定平面上，疲劳损伤的累积、寿命预测都在该平面上进行，具有一定的物理意义。临界平面法首先要找到最大损伤平面（临界平面），然后将其面上的剪切和法向应力（应变）进行各种组合来构造多轴疲劳损伤参量，建立多轴疲劳寿命预测方程。确定临界平面的方法有多种，根据不同的损伤参量可以得到不同的判断准则。

1.2　疲劳载荷

载荷可分为两大类，即静载荷和动载荷。动载荷又分为周期载荷、非周期载荷和冲击载荷。周期载荷和非周期载荷统称为疲劳载荷。

一般机器和零件承受的载荷，大都是一个连续的随机载荷。承受随机载荷的零件，在进行疲劳强度计算、寿命估算和疲劳试验之前，必须先确定其载荷谱。在机器工作时直接测得的载荷-时间历程称为工作谱或使用谱。由于随机载荷的不确定性，一般需要对工作谱进行统计处理。经过处理后的载荷-时间历程称为载荷谱，能很好地反映零件的疲劳载荷特征。将实测的载荷-时间历程处理成具有代表性的典型载荷谱的过程称为编谱，编谱的重要环节是应用统计理论来处理所获得的实测子样。

统计处理随机载荷历程的方法主要有：循环计数法和功率谱法。循环计数法是从载荷-时间历程中确定出不同载荷参量值及其出现的次数。功率谱法是借助傅氏变换，将连续变化的随机载荷分解为无限多个频率成分，得出其功率谱密度函数。用功率谱密度函数进行疲劳分析也称为疲劳的频域分析方法。基于循环计数的方法称为时域分析方法。

对于疲劳强度与疲劳寿命来说，最主要的是载荷幅值的变化情况，故广泛使用循环计数法。

1.2.1　循环应力

随时间周期性变化的应力称为循环应力。最简单的循环应力为恒幅循环应力。图28-1-2是四种循环特征不同的应力变化规律。

图中σ为正应力，t为时间。各应力分量：

σ_max——最大应力，即应力循环中具有最大代数值的应力；

σ_min——最小应力，即应力循环中具有最小代数值的应力；

σ_m——平均应力，即应力循环中最大应力和最小应力的代数平均值；

σ_a——应力幅，即应力循环中最大应力和最小应力代数差的一半。应力符号规定拉应力为正，压应力为负。

平均应力σ_m、应力幅σ_a、最大应力σ_max、最小应力σ_min之间有如下关系

　　（28-1-1）

　　（28-1-2）

　　（28-1-3）

　　（28-1-4）

应力每一周期性变化称为一个应力循环。定义应力比r为

　　（28-1-5）

对于对称循环，r=-1；对于脉动循环，r=0；静应力可以看作应力幅为零的循环应力，此时r=+1。应力循环的应力比在-1≤r≤+1范围内取值。

一种循环应力状态，一般可用σ_max、σ_min、σ_m、σ_a和 r五个参数中的任意两个来确定。如果作用的应力是切应力时，各应力分量之间的关系有

　　（28-1-6）

　　（28-1-7）

　　（28-1-8）

　　（28-1-9）

1.2.2　循环计数法

把一个随机的载荷-时间历程处理成一系列的全循环或半循环的过程称为循环计数法。循环计数法可分成两大类：单参数计数法和双参数计数法。单参数计数法只记录载荷谱中的一个参量，如峰值或范围（变程），不能给出载荷循环的全部信息。属于这种计数方法的有：峰值计数法，穿级计数法和范围计数法等。双参数计数法可以记录载荷循环中的两个参量。由于载荷循环中只有两个独立参量，因此双参数计数法可以记录载荷循环的全部信息。属于这种计数方法的有：范围对计数法，跑道计数法和雨流计数法等。使用最广泛的是雨流计数法。该法在计数原理上有一定的力学依据，易于实现自动化、程序化。

雨流法的计数原理如下。

如图28-1-3所示。对一个实际的载荷时间历程，取一垂直向下的纵坐标轴表示时间，横坐标轴表示载荷。这样载荷-时间历程形同一座宝塔，雨点以峰值、谷值为起点向下流动，根据雨点向下流动的迹线，确定载荷循环，这就是雨流法（或称塔顶法）名称的由来。其计数规则如下。

1）雨流的起点依次在每个峰（谷）值的内侧开始。

2）雨流在下一个峰（谷）值处落下，直到对面有一个比开始时的峰（谷）值更大 （更小）值为止。

3）当雨流遇到来自上面屋顶流下的雨时就停止。

4）取出所有的全循环，并记下各自的振程。

5）按正、负斜率取出所有的半循环，并记下各自的振程。

6）把取出的半循环按雨流法第二阶段计数法则处理并计数。

根据上述规则，图28-1-3（a）中的第1个雨流应从O点开始，流到a点落下，经b与c之间的a'点继续流到c点落下，最后停止在比谷值O更小的谷值d的对应处。取出一个半循环O-a-a'-c。第二个雨流从峰值a的内侧开始，由b点落下，由于峰值c比a大，故雨流停止于c的对应处，取出半循环a-b。第三个雨流从b点开始流下，由于遇到来自上面的雨流O-a-a'，故止于a'点，取出半循环b-a'。因b-a'与a-b构成闭合的应力-应变回线，则形成一个全循环a'-b-a。依次处理，最后可以得到在图28-1-3（a）所示的载荷-时间历程中三个全循环：a'-b-a，d'-e-d ，g'-h-g和三个半循环：O-a-a'-c，c-d-d'-f，f-g- g' -i 。

图28-1-3（b）是该载荷历程作用下的材料应力-应变回线，可见与雨流法计数所得结果是一致的。

一个实际的载荷时间历程，经过雨流法计数并取出全循环之后，剩下的半循环可能会构成一个发散-收敛的载荷谱，如图28-1-4（a）所示，按上述雨流法规则无法继续计数。如把它改造一下使之变成一个收敛-发散谱后，如图28-1-4（b）所示，就可继续用雨流法计数，这就是雨流法计数第二阶段。

图28-1-4（a）为一发散-收敛谱，从最高峰值a₁或最低谷值b₁处截成两段，使左段起点b_n和右段末点a_n相连接，构成如图28-1-4（b）那样的收敛-发散谱，则继续用雨流法计数直到完毕。

除了雨流计数法以外，峰值计数法和幅值计数法相对更加便于应用。峰值计数法是把载荷-时间历程中的全部峰值和谷值都进行计数，统计每一级载荷的频次数，如图28-1-5所示。幅度计数法是对相邻的峰值和谷值的差值，或是一次循环中最大载荷与最小载荷的差值进行计数，统计出不同幅度（变程）的频次数，如图28-1-6所示。

1.2.3　载荷谱编制

由实际的载荷-时间历程简化成典型载荷谱的过程，称为“载荷谱编制”，简称“编谱”。编谱时必须遵循损伤等效原则，即把一个连续的随机载荷对零件所造成的损伤等量地反映出来。由于载荷谱具有典型性、集中性和概括性的特点，因而成为疲劳试验的基础，也是疲劳寿命估算的依据。

载荷谱有三种类型，即恒幅载荷谱、程序块载荷谱和随机载荷谱。恒幅载荷谱的最大值和最小值不随时间变化。程序块载荷谱以离散的变幅值的程序块代替连续的随机载荷。随机载荷谱是在频域中用人工制造的振动来合成实际载荷历程。恒幅载荷谱常用于材料疲劳性能试验，也用于疲劳分析方法的研究，以及用于比较结构疲劳性能的优劣。随机载荷谱比较严密精确，但要有专用的疲劳试验机，试验费用较高。程序块载荷谱没有考虑载荷顺序的影响，但试验费用较低。一般的编谱过程多指程序块载荷谱的编制。

载荷谱除以载荷-时间历程给出之外，机械工程中还常以力矩-时间历程、转矩-时间历程等形式给出。

1.2.3.1　累积频数曲线

累积频数曲线也叫载荷累积频数图。根据疲劳载荷进行雨流法循环计数，得到各级载荷出现的频数。如果子样的数量足够大，可以将统计结果以累积频数曲线表示出来，如图28-1-7中的光滑曲线。

还可将载荷累积频数转化成概率密度函数，其均值及标准差都可求出。根据概率密度函数可写出相应的概率分布函数。正态分布函数和威布尔分布函数都可以用来描述疲劳载荷数据。

正态概率分布函数形式为

　　（28-1-10）

式中　A——幅值；

σ——母体标准差；

μ——母体均值。

威布尔概率分布函数形式为

　　（28-1-11）

式中　γ——位置参数；

η——尺度参数；

β——形状参数。

实际工作中，由于受测试时间及费用等限制，一般情况下，人们只能实测整个机械寿命中很小一部分载荷-时间历程。在较短时间内测得的载荷-时间历程难以保证出现整个寿命中的最大载荷。因此，一般建议借助统计方法推算在10⁶次载荷循环中会出现一次的最大载荷，并将此载荷作为整个寿命周期中的最大载荷。

当零件的工况比较复杂、不能用一种典型工况表示时，需要分别求出每种工况各自的累积频数，再将各种典型工况的累积频数相加，得到总累积频数，然后再将其扩充为含10⁶次载荷循环的累积频数图。

1.2.3.2　载荷谱编制

编制载荷谱时，首先应确定一个包括所有状态的谱时间T_S，即所编制的典型谱代表多少工作小时。其次应根据产品实际使用或计划使用情况，给出各种载荷状态在整个寿命期内所占的比例。据此推知在谱时间T_S内幅值发生的总频数。

在用雨流计数法处理载荷-时间历程的过程中，没有考虑载荷的作用顺序和载荷频率的影响。就所编制的程序载荷谱而言，载荷级数多少、载荷块大小以及加载顺序对疲劳寿命都有影响。为减小所编制的程序载荷谱所产生的这些影响，常把简化后的程序载荷谱的周期取得短一些，即把程序块的容量减小，块数增加，总周期不变。

通常采用8级载荷代表连续载荷谱，如图28-1-7所示。图中各级幅值A₁、A₂、…、A₈与最大幅值之比依次为0.125、0.275、0.425、0.575、0.725、0.85、0.95、1。若程序块的重复次数为k，总寿命为N次循环，则每个程序块的循环次数n_i应取为

　　（28-1-12）

为了减少加载顺序对计算或试验结果的影响，必须使程序块多次重复，一般应在试样或零件寿命周期内重复10～20次。每个程序块中各级幅值次数占比由雨流计数法得到。

用8级载荷可以组成各种加载程序，常用的加载顺序有4种，如图28-1-8所示。

试验结果表明：低-高加载试样寿命偏长；高-低加载试样寿命偏短，后2种加载方式接近随机加载情况。

1.2.3.3　应用举例

编谱步骤：首先将连续载荷时间历程变成由峰谷值表征的离散载荷时间历程，再用循环计数法获得载荷幅值的统计数据并进行分组，一般情况下可分成10～20组为宜。然后求出每组中载荷出现的频数n，频率f =n/N₀，累积频数N，累积频率F，其中N₀为整个载荷历程中的载荷总数。最后得到载荷频数曲线。有了载荷频数曲线就可以根据情况编制各种形式的载荷谱。

将实测的一段载荷时间历程进行离散化处理，离散后的载荷数据：整个载荷历程峰谷值总数N₀=1399，最大载荷P_max=1300N，最小载荷P_min=0。将载荷值分成13组，将雨流计数后的数据进行统计，得到各组中载荷循环的频数n、频率f、累积频数N和累积频率F，列于表28-1-1中。

以载荷为纵坐标，累积频数为横坐标（对数坐标），拟合数据得到累积频数曲线，如图28-1-9中曲线AB所示。

外推累积频数曲线的作法：首先将测得的累积频数曲线AB向右平移至A'B'，使B'点的横坐标N=10⁶，如图28-1-9所示。其次确定外推后的累积频率曲线的最大载荷P'_max，曲线连接纵坐标上的P'_max点与A'点，则曲线P'_max A'B'即为所求的外推累积频率曲线。其中P'_max的计算公式为：

　　（28-1-13）

式中　P_max——统计得到的最大载荷；

N₀₂——扩展后的循环数；

N₀₁——统计的累积次数；

n——载荷块数，本例取n=8。

则得：

1.3　材料疲劳性能

进行疲劳强度设计时，必不可少的是反映材料抗疲劳性能的“循环应力-寿命曲线”，该曲线以疲劳寿命（循环应力作用下发生破坏时的循环数）N为横坐标，以对试样施加的循环应力水平为纵坐标。一般情况下，弯曲应力、拉伸（压缩）应力用σ表示，扭转应力用τ表示，应变用ε表示，亦即实际试验作出的是σ-N曲线、τ-N曲线或ε-N曲线。由于“应力”和“应变”在英文字母中首字母都是“S”，所以这三种曲线统称为S-N曲线。

传统的材料应力-寿命曲线一般是在旋转弯曲疲劳试验机上，用标准试样试验得到的，现在则多用拉压疲劳试验机。图28-1-10是用光滑试样在控制应力的试验条件下得到的典型的S-N曲线。

从图中曲线可以看出，每一个应力都有一相应的失效循环次数，即相应的疲劳寿命。曲线的水平部分见图28-1-10（a），在不大于该应力水平下材料经无限次应力循环也不会发生疲劳失效。与此对应的最大应力表示光滑试样对称循环应力条件下的疲劳极限，用σ_-1表示。若材料的S-N曲线有一水平的渐近线，其纵坐标即为疲劳极限σ_-1。一般规定：钢试样经过10⁷循环仍不破坏时，就认为它可以承受无限次循环。有些材料的S-N曲线没有水平部分，见图28-1-10（b），常以一定的循环数（如2×10⁷或10⁸）下的应力作为疲劳极限。在S-N曲线上，小于10⁷次循环的点所对应的最大应力，称为材料在该循环数下的条件疲劳极限。

1.4　疲劳损伤累积效应与法则

当材料或零件承受高于疲劳极限的应力时，每一循环都使材料产生一定量的损伤，即材料性能或微观结构的变化。在循环载荷作用下，疲劳损伤会不断累积，当损伤累积到临界值时发生疲劳破坏，这就是疲劳损伤累积概念。

在循环应力作用下，疲劳损伤过程是在结构局部高应力或有缺陷的部位形成微裂纹，并逐渐扩展，直至断裂。

疲劳累积损伤理论，归纳起来可分为两大类。

1）线性疲劳累积损伤理论。材料在各个应力下的疲劳损伤是独立的，总损伤可以线性地累加起来。其中最有代表性的是帕姆格伦-迈因纳（Palmgren-Miner）理论，简称迈因纳理论或Miner损伤法则。

2）非线性疲劳累积损伤理论。基于载荷历程和损伤之间存在着相互作用，即在某应力下产生的损伤与前面应力作用的水平和次数有关。这一理论的代表是科尔顿和多兰（Corten & Dolan）理论。

线性累积损伤理论，包括相对线性损伤理论，特别是Miner理论，形式简单、使用方便，在工程中得到了广泛的应用。

1.4.1　线性疲劳累积损伤（Miner）法则

线性疲劳累积损伤理论认为，材料在各个应力下的疲劳损伤是独立进行的，并且总损伤可以线性地累加起来。

图28-1-11为疲劳损伤线性累积示意图。图28-1-11（a）为应力历程，图28-1-11（b）为S-N曲线。

应力σ₁作用n₁次，在该应力水平下材料达到破坏的总循环次数为N₁。设D为最终断裂时的损伤临界值，根据线性疲劳累积损伤理论，应力σ₁每作用一次对材料的损伤为D/N₁，经n₁次循环作用后，σ₁对材料的总损伤为n₁D/N₁。仅有σ₂作用时，材料发生破坏的应力循环数为N₂，应力σ₂每循环一次对材料的损伤为D/N₂，经n₂次循环后，σ₂对材料的总损伤应为n₂D/N₂。依此类推，应力σ₃，循环作用n₃次，对材料造成的总损伤为n₃D/N₃。应力σ₄小于材料疲劳极限σ_-1，它可以作用无限次循环而不引起材料疲劳损伤，计算中可以不予考虑。

当各级应力对材料的损伤总和达到临界值D时，材料即发生破坏。用公式表示为

或写成

上面的关系式推广到更普遍的情况时，即有

或写成

　　（28-1-14）

式（28-1-14）称为线性疲劳累积损伤方程式。Miner理论与试验结果并不完全相符合。这是因为疲劳损伤的累积不但决定于当前的应力状况，而且还和过去作用的应力历史有关。另外，加载顺序对损伤有明显影响。先作用高应力还是先作用低应力，所得结果不一样。因而使得式（28-1-14）的右边不等于1。

1.4.2　相对Miner法则

由于上述的Miner法则没有考虑载荷顺序的复杂影响，有时误差很大。相对Miner法则一方面保留了Miner法则中第一个假设，即线性疲劳累积假设，另一方面又避开了累积损伤a=1的第二个假设，其数学表达式为

　　（28-1-15）

式中　N_A——载荷谱A作用下估算的疲劳寿命；

N_B——载荷谱B作用下估算的疲劳寿命；

——载荷谱A的计算累积损伤；

——载荷谱B的计算累积损伤。

式（28-1-15）表明，只要两个谱的载荷历程相似，则两个谱的寿命之比等于它们的累积损伤之比的倒数。

使用相对Miner法则的关键是确定相似谱B。其中有两点假设：①相似谱B的主要峰谷顺序应和计算谱A相近或相同；②相似谱B的主要峰谷大小和计算谱A成比例或近似成比例，比例因子最好接近1。

用相对Miner法则计算和试验结果比较可见，能大幅度消除Miner法则计算数值引起的误差，提高其计算精度。

1.5　平均应力修正

对于非对称循环疲劳的平均应力影响，可以采用比较成熟的平均应力修正公式，例如Gerber公式、Goodman公式和Soderberg公式等。

格伯（Gerber）公式：

　　（28-1-16）

古德曼（Goodman）公式：

　　（28-1-17）

索德倍尔格（Soderberg）公式：

　　（28-1-18）