2.7　网孔法

网孔法是求解平面电路的一种方法。它以网孔电流作为电路的独立变量，对每一个网孔列写KVL方程；解得网孔电流后，由网孔电流求得电路中各支路电流和其他变量。所谓网孔电流，是平面电路中一个假想的在网孔中循环流动的电流。实际上，并不存在以网孔作为循环路径的网孔电流。为了分析计算，假想每一个网孔中都有一个循环的网孔电流，并把各支路电流认为是相应网孔电流叠加的结果。由于平面电路的全部网孔就是一组独立回路，因此采用网孔法列写的KVL方程必然是独立的。

如图2-18所示电路，设网孔电流为i_m1和i_m2，其绕行方向如图中所示。支路电流i₁、i₂、i₃可以用网孔电流表示为

对于网孔1和网孔2，按网孔电流的绕行方向列写KVL方程，有

将式（2-14）代入式（2-15），整理后可得

式（2-16）就是以网孔电流为变量的网孔电流方程。

如果令R₁₁=R₁+R₂，R₁₂=R₂₁=-R₂，R₂₂=R₂+R₃，u_s11=u_s1-u_s2，u_s22=u_s2-u_s3，则式（2-16）改写成如下一般形式：

上述方程中，R₁₁i_m1项代表网孔电流i_m1在网孔1内各电阻上引起的电压值和，R₂₂i_m2项代表网孔电流i_m2在网孔2内各电阻上引起的电压值和。R₁₁和R₂₂分别等于网孔1和网孔2中的所有电阻之和，它们分别称为网孔1和网孔2的自电阻。由于网孔绕行方向和网孔电流参考方向一致，故R₁₁和R₂₂总为正值。R₁₂i_m2项代表网孔电流i_m2在网孔1中引起的电压，R₂₁i_m1项代表网孔电流i_m1在网孔2中引起的电压。R₁₂和R₂₁的数值等于网孔1和网孔2的公共支路上的电阻，分别称为网孔1和网孔2的互电阻。当两个网孔电流在共有电阻上的参考方向相同时，表明一个网孔电流在共有电阻上引起的电压与另一个网孔的绕行方向一致，应取“+”号，反之取“-”号。u_s11和u_s22项分别代表网孔1和网孔2中的总电压源电压，分别等于网孔1和网孔2中所有电压源电压的代数和。当电压源电压参考方向与网孔绕行方向一致时取“-”号，反之取“+”号。

对于具有m个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式可由式（2-17）推广得到，即

式中，

R_kk称为回路k的自电阻，它是网孔k的各支路电阻之和。由于网孔绕行方向和网孔电流方向一致，因此，自电阻总是正值。

R_ij（i≠j）称为网孔i和网孔j之间的互电阻，它等于网孔i和网孔j公共支路的电阻之和。当两个网孔电流在公共电阻上参考方向一致时为正，相反则为负。当网孔i和网孔j之间没有公共支路，或有公共支路但其电阻为零时，互电阻R_ij=0。在电路中不含受控源的情况下，方程左边的系数具有对称性，即R_ij=R_ji（i≠j）。如果网孔的绕行方向全部一致，由于邻近的两个网孔电流在通过共有电阻时方向总是相反的，故互电阻总是负值。

u_skk为网孔k的总电压源电压，它等于网孔k中所有电压源电压的代数和。其中，电源电压方向与网孔k的绕行方向一致时为正，反之为负。

用网孔法分析平面电路的步骤归纳如下：

（1）设定网孔电流和支路电流的参考方向，表示于图中。

（2）以网孔电流方向为绕行方向，按式（2-18）的形式列写网孔方程。

（3）解方程，求出各网孔电流。

（4）根据网孔电流与支路电流的关系，求出支路电流，进一步求得其他待求变量。

【例2-7】电路如图2-19所示，用网孔法求解各支路电流。

解：设各网孔电流和支路电流如图2-19所示，对于网孔1、2、3，按式（2-18）列出网孔方程为

即

解方程，求得网孔电流为

i_m1=5.5（A），i_m2=1.5（A），i_m3=3.5（A）

按照支路电流与网孔电流的关系，求得各支路电流为

在应用网孔法的时候，如果电路中含有电流源与电阻的并联组合，可将其等效变换为电压源与电阻的串联组合，再按式（2-18）列写网孔方程。对于含有无伴电流源的电路，可以设电流源的电压为未知量，同时增加一个电流源电流对网孔电流的约束方程，仍然可以保证独立方程数等于未知变量数。

【例2-8】电路如图2-20所示，用网孔法求解各支路电流。

解：设网孔电流和各支路电流如图2-20所示。由于含有无伴电流源支路，故设电流源的电压为u_s，列写网孔方程如下：

即

解得：

i_m1=4（A），i_m2=2（A），u_s=2（V）

进一步求得各支路电流为