2.2.4 广播
当使用ufunc函数对两个数组进行计算时，ufunc函数会对这两个数组的对应元素进行计算，因此它要求这两个数组的形状相同。如果形状不同，会进行如下广播(broadcasting)处理：
1）让所有输入数组都向其中维数最多的数组看齐，shape属性中不足的部分都通过在前面加1补齐。
2）输出数组的shape属性是输入数组的shape属性的各个轴上的最大值。
3）如果输入数组的某个轴的长度为1或与输出数组的对应轴的长度相同，这个数组能够用来计算，否则出错。
4）当输入数组的某个轴的长度为1时，沿着此轴运算时都用此轴上的第一组值。
上述4条规则理解起来可能比较费劲，下面让我们看一个实际的例子。
先创建一个二维数组a，其形状为(6,1)：
a = np.arange(0, 60, 10).reshape(-1, 1)
a a.shape
------ -------
[[ 0], (6, 1)
[10],
[20],
[30],
[40],
[50]]
再创建一维数组b，其形状为(5,)：
b = np.arange(0, 5)
b b.shape
--------------- -------
[0, 1, 2, 3, 4] (5,)
计算a与b的和，得到一个加法表，它相当于计算两个数组中所有元素对的和，得到一个形状为(6,5)的数组：
c = a + b
c c.shape
---------------------- -------
[[ 0, 1, 2, 3, 4], (6, 5)
[10, 11, 12, 13, 14],
[20, 21, 22, 23, 24],
[30, 31, 32, 33, 34],
[40, 41, 42, 43, 44],
[50, 51, 52, 53, 54]]
由于a和b的维数不同，根据规则1)，需要让b的shape属性向a对齐，于是在b的shape属性前加1，补齐为(1,5)。相当于做了如下计算：
b.shape = 1, 5
b b.shape
----------------- -------
[[0, 1, 2, 3, 4]] (1, 5)
这样，加法运算的两个输入数组的shape属性分别为(6,1)和(1,5)，根据规则2)，输出数组的各个轴的长度为输入数组各个轴的长度的最大值，可知输出数组的shape属性为(6,5)。
由于b的第0轴的长度为1，而a的第0轴的长度为6，为了让它们在第0轴上能够相加，需要将b的第0轴的长度扩展为6，这相当于：
b = b.repeat(6, axis=0)
b b.shape
----------------- -------
[[0, 1, 2, 3, 4], (6, 5)
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4]]
这里的repeat()方法沿着axis参数指定的轴复制数组中各个元素的值。由于a的第1轴的长度为1，而b的第1轴的长度为5，为了让它们在第1轴上能够相加，需要将a的第1轴的长度扩展为5，这相当于：
a = a.repeat(5, axis=1)
a a.shape
---------------------- -------
[[ 0, 0, 0, 0, 0], (6, 5)
[10, 10, 10, 10, 10],
[20, 20, 20, 20, 20],
[30, 30, 30, 30, 30],
[40, 40, 40, 40, 40],
[50, 50, 50, 50, 50]]
经过上述处理之后，a和b就可以按对应元素进行相加运算了。当然，在执行a + b运算时，NumPy内部并不会真正将长度为1的轴用repeat()进行扩展，这样太浪费内存空间了。由于这种广播计算很常用，因此NumPy提供了ogrid对象，用于创建广播运算用的数组。
x, y = np.ogrid[:5, :5]
x y
----- -----------------
[[0], [[0, 1, 2, 3, 4]]
[1],
[2],
[3],
[4]]
此外，NumPy还提供了mgrid对象，它的用法和ogrid对象类似，但是它所返回的是进行广播之后的数组：
x, y = np.mgrid[:5, :5]
x y
----------------- -----------------
[[0, 0, 0, 0, 0], [[0, 1, 2, 3, 4],
[1, 1, 1, 1, 1], [0, 1, 2, 3, 4],
[2, 2, 2, 2, 2], [0, 1, 2, 3, 4],
[3, 3, 3, 3, 3], [0, 1, 2, 3, 4],
[4, 4, 4, 4, 4]] [0, 1, 2, 3, 4]]
ogrid是一个很有趣的对象，它像多维数组一样，用切片元组作为下标，返回的是一组可以用来广播计算的数组。其切片下标有两种形式：
●开始值:结束值:步长，和np.arange(开始值，结束值，步长)类似。
●开始值:结束值:长度j，当第三个参数为虚数时，它表示所返回的数组的长度，和np.linspace(开始值，，结束值，长度)类似。
x, y = np.ogrid[:1:4j, :1:3j]
x y
--------------- --------------------
[[ 0. ], [[ 0. , 0.5, 1. ]]
[ 0.33333333],
[ 0.66666667],
[ 1. ]]
利用ogrid的返回值，我们很容易计算二元函数在等间距网格上的值。下面是绘制三维曲面（x，y）=xex2 -y2的程序：
x, y = np.ogrid[-2:2:20j, -2:2:20j]
z = x * np.exp( - x**2 - y**2)
图2-6为使用ogrid计算的三维曲面。
图2-6 使用ogrid计算二元函数的曲面
为了充分利用ufunc函数的广播功能，我们经常需要调整数组的形状，因此数组支持特殊的下标对象None，它表示在None对应的位置创建一个长度为1的新轴，例如对于一维数组a，a[None, :]和a.reshape(1, -1)等效，而a[:, None]和a.reshape(-1, 1)等效：
a = np.arange(4)
a[None, :] a[:, None]
-------------- ----------
[[0, 1, 2, 3]][[0],
[1],
[2],
[3]]
下面的例子利用None作为下标，实现广播运算：
x = np.array([0, 1, 4, 10])
y = np.array([2, 3, 8])
x[None, :] + y[:, None]
array([[ 2, 3, 6, 12],
[ 3, 4, 7, 13],
[ 8, 9, 12, 18]])
还可以使用ix_()将两个一维数组转换成可广播的二维数组：
gy, gx = np.ix_(y, x)
gx gy gx + gy
------------------ ----- ------------------
[[ 0, 1, 4, 10]] [[2], [[ 2, 3, 6, 12],
[3], [ 3, 4, 7, 13],
[8]] [ 8, 9, 12, 18]]
在上面的例子中，通过ix_()将数组x和y转换成能进行广播运算的二维数组。注意数组y对应广播运算结果中的第0轴，而数组x与第1轴对应。ix_()的参数可以是N个一维数组，它将这些数组转换成N维空间中可广播的N维数组。