3.7　导数公式推导示例

这里我们推导f(x)=xⁿ的导数f′(x)=nx^n-1(n为常数)

为了方便起见，这里我们采用的形式，而不是的形式。

设f(x₀)=x₀ⁿ(n为常数)

对于大家来说，可能最难以理解的就是中间这一步，即

是怎么来的了。首先，因为等式两边的极限运算符没有变，所以说明这一步并没有做极限的运算。那么就有x+x₀^n-1，想要验证这样一个式子，思维活跃的读者可能已经发现，只需要把左边分母上的x-x₀挪到右边去，就可以完成验证了。

现在我们以更科学的方法来检验这个等式：首先，我们在等式右边乘以x-x₀，可得：

(x^n-1+x₀x^n-2+x₀²x^n-3+…+x₀^n-2x+x₀^n-1)(x-x₀)

把括号打开，则有：

x^n-1·(x-x₀)+x₀x^n-2·(x-x₀)+x₀²x^n-3·(x-x₀)+…+x₀^n-2x·(x-x₀)+x₀^n-1·(x-x₀)

再将括号打开则有：

xⁿ-x₀x^n-1+x₀x^n-1-x₀²x^n-2+…+x₀^n-2x²-x₀^n-1x+x₀^n-1x-x₀ⁿ

消去中间能够抵消的项，就有：

x_n-x_0n

所以，我们就得到了：

(x^n-1+x₀x^n-2+x₀²x^n-3+…+x₀^n-2+x₀^n-1)(x-x₀)=xⁿ-x₀ⁿ

如果在等式两边同时除以x-x₀，则有：

这样我们就知道了这一步是怎么计算的，而这实际上是一种计算经验，当你足够熟练的时候，就可以自如地写出这样简单的式子来了。