1.2　复平面上的曲线和区域

1.2.1　复平面上的曲线方程

平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式.复平面上的曲线也可写成相应的两种复数形式.

（1）直角坐标方程

设z=x+iy，xOy面上曲线C的直角坐标方程为

F（x，y）=0.　　　（1.2.1）

由 或 得到复平面上曲线C的方程为

　　　（1.2.2）

（2）参数方程

令z=x+iy，z（t）=x（t）+iy（t），则由两个复数相等的定义知，曲线C的参数方程：

x=x（t），y=y（t）　（α≤t≤β）等价于复数形式

z=x（t）+iy（t）　或　z=z（t）.　　　（1.2.3）

例如圆周的参数方程x=x0+Rcost，y=y0+Rsint　（0≤t≤2π），其等价的复数形式为

z=z0+R（cost+isint） 或 z=z0+Reit.

其中t∈［0，2π］，z0=x0+iy0.

【例1.2.1】　将直线方程3x+2y=1化为复数形式.

解　将代入方程，得

此即为所给直线方程的复数形式.

同理可得，直线x=1的复数形式为Re（z）=1或.又如圆周（x-x0）2+（y-y0）2=R2可表示为

|z-z0|=R.　　　（1.2.4）

其中z0=x0+iy0为圆心，|z-z0|为动点z到定点z0的距离.由此可以看出，用复数z表示曲线上的动点，可以直接写出其轨迹方程.如动点z到定点z1和z2的距离之和为2a的轨迹为椭圆（|z1-z2|<2a），其方程为

|z-z1|+|z-z2|=2a.　　　（1.2.5）

【例1.2.2】　指出下列方程表示什么曲线.

（1） |z-2i|=|z+2|；

（2） ；

（3） z=（1+i）t+z0（-∞<t<+∞）；

（4） z=（1+i）t+z0（t>0）.

解　（1）将z=x+iy代入方程|z-2i|=|z+2|得x2+（y-2）2=（x+2）2+y2，整理化简为y=-x，表示z平面上第二、四象限的角平分线.事实上，方程显然表示到点2i和-2等距离的动点轨迹，即为连接2i和-2两点线段的垂直平分线［图1.2.1（a）］.

（2）将代入方程得x=2，表示z平面上垂直于实轴的一条直线［图1.2.1（b）］.

（3）设z=x+iy，z0=x0+iy0，代入方程z=（1+i）t+z0 得x=x0+t，y=y0+t它表示z平面上过点z0，其方向平行于向量1+i的直线.

（4）同理可得，方程（4）只是方程（3）中直线的半直线.由于点z满足arg（z-z0）=arg［（1+i）t］= （t>0），因此它是从点z0出发倾角为arg（1+i）=的射线［不包含点z0，见图1.2.1（c）］.显然其方程可简写为arg（z-z0）=

1.2.2　简单曲线与光滑曲线

设x（t），y（t）为区间［α，β］上的两个实变量连续函数，则由复数方程（1.2.3）在复平面上决定的点集C称为复平面上的一条连续曲线.

定义1.2.1　若连续曲线C：z=z（t）对［α，β］上任意两个不同的点t1及t2（且不同时为［α，β］的端点），总有z（t1）≠z（t2），则称该曲线为简单曲线或若当曲线；若简单曲线的起点与终点重合，即z（α）=z（β），则称它为简单闭曲线（图1.2.2）.

定义1.2.2　若x'（t），y'（t）均在［α，β］上连续，且不同时为零［即z'（t）=x'（t）+y'（t）在［α，β］上连续且z'（t）≠0］，则称曲线C：z=z（t）=x（t）+y（t） （α≤t≤β）为光滑曲线；由有限条光滑曲线依次连接所组成的曲线称为分段光滑曲线.

如直线、圆周等都是光滑曲线，而连接直线段所构成的折线是逐段光滑曲线.

1.2.3　区域

为了给出区域的概念，首先引入平面点集的几个基本概念.

（1）邻域

设P0为定点，δ为某个正常数，则称平面上以P0为中心，δ为半径的圆内部的点的集合{P| |P-P0|<δ}为点P0的一个δ邻域，记作Nδ（P0）；而称满足不等式0<|P-P0|<δ的点集为点P0的一个去心邻域，记作

（2）内点

设G为平面上的点集，若P0∈G且存在P0的一个邻域Nδ（P0）⊂G，则称P0为G的内点.

（3）边界点

如果点P的任何一个邻域内既含有属于G的点，又含有不属于G的点，则称点P为G的边界点.G的所有边界点所组成的集合称为G的边界.

（4）聚点

如果对任意给定的δ>0，点P的去心邻域（P）内总有G中的点，则称点P是G的聚点.

（5）开集

若点集G内的每一个点都是它的内点，则称G为开集.

（6）连通集

如果点集G内的任何两点，都可用完全属于G的折线连接起来，则称G为连通集.

定义1.2.3　若平面点集D是连通的开集，称点集D为区域.

区域D连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域，简称为闭域，记作.可见闭区域不是区域，区域不包含它的任何边界点，区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成.

（7）有界域和无界域

如果一个区域D可以被包含在一个以原点为中心的某个确定的圆内部，则称D是有界域，否则称D是无界域.

例如，集合{（x，y）|1<x2+y2<3}是有界域；集合{（x，y）|x+y>0}是无界域，集合{（x，y）|x+y≥0}是无界闭区域.可见，闭区域也不一定是有界的.

（8）单连通域和多连通域

简单闭曲线有一个明显特征，它把整个平面分成没有公共点的两个区域，一个是有界域称为它的内部，另一个是无界域称为它的外部，它们都以该曲线为边界，而不包含该曲线上的点.下面介绍单连通域和多连通域的概念.

定义1.2.4　设D是平面上的一个区域，如果D中的任意一条简单闭曲线的内部总是完全属于D，则称D为单连通区域，否则称D为多连通区域.

单连通域D具有这样的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点，多连通域则不具有这一特征.

如整个复平面、半平面Im（z）>a或Re（z）>b等都是单连通域，除去原点和负实轴的复平面区域-π<arg（z）<π也是单连通域（图1.2.3）.

任一去心邻域、环形域及图1.2.4所示的区域都是多连通域.