2.1　数学模型的介绍

2.1.1　数学模型的含义

科学的发展离不开数学，数学模型在其中起着非常重要的作用。无论是自然科学还是社会科学的研究都离不开数学模型。那么，怎样给数学模型下一个定义呢？

数学模型即反映某一类现象客观规律的数学公式。数学模型的定义就是利用数学语言对某种事物系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。

数学模型有广义理解和狭义理解。按广义理解：凡是以相应的客观原型（即实体）作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学公式、数学理论等都叫做数学模型。按狭义理解：那些反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统就叫做数学模型。在应用数学中所指的数学模型，通常是按狭义理解的，而且构造数学模型的目的仅在于解决具体的实际问题。

数学模型是为一定的目的对客观实际所做的一种抽象模拟，它用数学公式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。它源于实践，却不是原型的简单复制，而是一种更高层次的抽象。它能够解释特定事物的各种显示形态，或者预测它将来的形态，或者能为控制某一事物的发展提供最优化策略，它的最终目标是解决实际问题。

2.1.2　数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种。

（1）按照模型的应用领域（或所属学科）分　如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等。范畴更大一些则形成许多边缘学科，如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等。

（2）按照建立模型的数学方法（或所属数学分支）分　如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。

按第一种方法分类的数学模型书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用。本书重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模。

（3）按照模型的表现特性有以下几种分法

①确定性模型和随机性模型　这种分类方法取决于是否考虑随机因素的影响。近年来，随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型。

②静态模型和动态模型　这种分类方法取决于是否考虑时间因素引起的变化。

③线性模型和非线性模型　这种分类方法取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的。

④离散模型和连续模型　这种分类方法取决于模型中的变量（主要是时间变量）是取为离散的还是连续的。

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型。连续模型便于利用微积分方法求解，做理论分析，而离散模型便于在计算机上做数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定。在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法。

（4）按照建模目的分　按照建模目的分有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。

（5）按照对模型结构的了解程度分　按照对模型结构的了解程度分为所谓的白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙。白箱模型主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题。灰箱模型主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做。至于黑箱模型则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理（数量关系方面）很不清楚的现象。有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理。当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的。

一般说来，建立数学模型的方法大体上可分为两大类分析方法。一类是机理分析方法，另一类是测试分析方法。机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型，这种方法称为系统辨识。将这两种方法结合起来也是常用的建模方法，即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数。

可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的。如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义，那么应该以机理分析方法为主。当然，若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到。如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性，譬如仅用来做输出预报，则可以以系统辨识方法为主。系统辨识是一门专门学科，需要有一定的控制理论和随机过程方面的知识。

2.1.3　建立数学模型的一般步骤和原则

数学模型的建立，简称数学建模（mathematical modeling）。数学建模没有固定的模式。按照建模过程，一般采用的建模基本步骤如下。

（1）建模准备　建模准备是确立建模课题的过程，就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的。建模之前应该掌握与课题有关的第一手资料，汇集与课题有关的信息和数据，弄清问题的实际背景和建模的目的，进行建模筹划。

（2）建模假设　建模假设就是根据建模的目的对原型进行适当的抽象、简化。对原型的抽象、简化不是无条件的，必须按照假设的合理性原则进行。假设合理性原则有以下几点。

①目的性原则　从原型中抽象出与建模目的有关的因素。简化那些与建模目的无关的或关系不大的因素。

②简明性原则　所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造模型。

③真实性原则　假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。

④全面性原则　对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。

（3）构造模型　在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的内容，首先区分哪些是常量、哪些是变量、哪些是已知量、哪些是未知量；然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。一般来讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。

（4）模型求解　构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解。

（5）模型分析　根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析（指分析结果重复获得的可能性），或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。

（6）模型检验　模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中对模型进行检验，看是否符合客观实际，若不符合，就需修改或增减假设条款，重新建模。循环往复，不断完善，直到获得满意结果。

（7）模型应用　模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。