3.2 巴黎期权的定价模型

我们着重关注向下敲入看涨巴黎期权。其他形式的巴黎期权可以通过一系列的平价关系得出。首先给出本节所用到的大部分符号，并介绍一系列关于布朗运动的停时，为后续巴黎期权的定价做准备。然后转入向下敲入看涨巴黎期权的理论定价，给出其拉普拉斯变换形式。最后通过巴黎期权与欧式期权的初始价格给出任意时刻的巴黎期权价格。

3.2.1 符号假设与定义

本节主要会运用到下列符号：

S：标的资产价格过程；

K：行权价格；

T：期权到期日；

L：标的资产价格S的障碍价格；

D：期权的窗口期；

D′：期权在t时刻时于障碍价格单边的累计徘徊时间；

x：标的资产价格S的初始价格；

r：无风险利率，假设为常数；

δ：股票的分红率或外汇无风险利率；

σ：波动率，假设为正常数；k:；

b:，即布朗运动的障碍水平；

λ：拉普拉斯参数，为一个复值变量；

θ:；

d:；

m:。

假设巴黎期权的定价可以在无套利均衡条件下进行，从而可以直接定义风险中性测度Q下的标的资产价格。设标的资产的价格S={St, t≥0}在风险中性测度Q下服从几何布朗运动dSt=St[（r-δ）dt+σdW t], S0=x，其中W={W t, t≥0}为一个Q-布朗运动，根据伊藤公式可写出。为了计算方便，采用Chesney等人的参数变换

并根据Girsanov定理，可由通过定义的概率测度P使得Z={Zt=Wt+mt,0≤t≤T}为一个P-布朗运动。则在P测度下。可以看出，新定义的概率测度P消除掉资金的时间价值，从而使得在计算上免除反复考虑贴现值的烦琐性。如果没有特别提出，本章讨论的标的资产的价格S={St, t≥0}以及布朗运动Z={Zt, t≥0}都在风险中性测度P下。

下面定义一些与布朗运动相关的停时。b的符号定义了标的资产初始价格和障碍价格的关系，下面将通过b来定义与计算。

定义1：对于常数b，定义关于S的“末达时”过程过程

注意：若采用S和L的形式，的形式应写为=sup{u≤t|Su=L}。可以看出描绘了t时刻资产价格S在L的单边区域“徘徊”的时间长度，是关于t的随机过程，并且关于可测，从而是一个停时。

利用可以定义一个与巴黎期权直接相关的停时。

定义2：对于以及常数D，定义与为

注意：虽然没有写出显式，但与同样是一个可测的停时，可以把与看作布朗运动首达时T b=inf{t＞0|Zt=b}的一个拓展，它要求布朗运动在最近一段时间内连续低于某一个常数。

3.2.2 向下敲入看涨巴黎期权（PDIC）

本节我们深入探讨向下敲入巴黎期权的定价，首先以拉普拉斯变换形式给出巴黎期权在初始时刻的价格，并在此基础上给出任意时刻的巴黎期权价格。

1．巴黎期权的初始价格

本节研究向下敲入看涨巴黎期权的定价方法，其他形式的巴黎期权可以通过巴黎期权与标准欧式期权之间的平价关系进行推导。记Ft=σ（Zs, s≤t）为由布朗运动Z={Zt; t≥0}生成的σ-代数流，可以通过时间变换为巴黎期权写出一个三重积分的形式。

定理1：由上述定义的巴黎期权可写成

其中

以及

证明：

为了计算*PDIC（x, T; K, L; r, δ），我们利用条件期望性质，有

记Wt为，由布朗运动的强马尔可夫性，可知对任意停时，Wt与独立，并且。记则Yt与独立。由条件期望的性质可知，于是有

经过整理即可得到定理1的结果。

为了计算定理1的期望，需要知道各个随机变量的密度函数，为此给出如下引理。

引理：与相互独立，记的概率密度为ν（dz）则在b＜0时有

并且的拉普拉斯变换为。

其中：b为任意实数；λ为任意复数；。

引理的证明需要用到布朗徘徊（BrownianExcursion）的理论，我们在此不给出证明，感兴趣的读者可以参考有关文献中的讨论。从引理可知，可以通过计算的拉普拉斯变换，来写出巴黎期权的显式表达。为此需要计算巴黎期权价格的拉普拉斯变换形式，从而有如下定理。

定理2：当b＜0时，巴黎期权价格的拉普拉斯变换*PDIC（x, λ; K, L; r, δ）可显式表达。

当K＞L时，

当K≤L时，

其中：。

通过平价关系，可以使用相似的方法来证明b＞0的情况，鉴于其只是一些（繁杂的）积分变换运算，在这里不列出其证明过程，具体的推导过程可参考Labart等人的结果。

定理3：当b＞0时，巴黎期权价格的拉普拉斯变换有如下形式：

当K≥L时，

当K≤L时，有以下两种情况：

当x≤K≤L时，

当K≤x≤L时，

由定理2和定理3，得出了向下敲入看涨巴黎期权在所有情况下的拉普拉斯变换形式。为了求解其真实价值，需要通过逆拉普拉斯变换，而这一般需要通过数值方法进行，后面我们将使用欧拉求和法进行巴黎期权的逆拉普拉斯变换。但是在此之前先考虑在任意时刻t巴黎期权的价格。

2．任意时刻的巴黎期权价格

到目前为止我们可以计算巴黎期权在零时刻的初始价格，但在实际中仅有巴黎期权的初始价格还不够，还需考虑在任意时刻t≤T的巴黎期权的价格。设在时刻t（t＜T）, Z={Zt; t≥0}为在概率测度P下的布朗运动，并设向下敲入看涨巴黎期权在障碍水平L下已经累计徘徊的时间长度为D′，记

T′=T-t

可以看出，的经济含义为标的资产价格在t后第一次达到L的时刻。则在t时刻巴黎期权的价格可以写为

在任意时刻t，标的资产价格可能有三种情况：第一种情况，St＞L，则此时与到期日为T′的向下敲入看涨巴黎期权没有任何区别；第二种情况，St≤L且≥D-D′，也即标的资产一直徘徊在L下，从而成功敲入，这只需要D-D′≤T′即可；第三种情况，St≤L但＜D-D′，这表明标的资产重新回到水平L上，从而需要在剩余时刻进行另外一次的向下徘徊，这要求≤T′。根据这个思路，可以得出如下定理。

定理4：在任意时刻t巴黎期权价格

的拉普拉斯变换为

其中：（S, T, K, r, δ）为标准欧式看涨期权价格的拉普拉斯变换。

证明：

可以把示性函数分为三条路径：

则定理中的数学期望可以分裂为

再次利用和与Ft的独立性原理，并再次利用强马氏性与条件期望性质，经过一系列漫长的积分运算，可以得到

定理4告诉我们，要计算在任意t时刻的巴黎期权价格，可以通过把其分解成三块价值分别计算来得出。第一块为一个标准的欧式期权，其到期时间为T′。第二块为一个初始价格为St的巴黎期权，其到期时间为T′。第三块可以通过一个拉普拉斯变换来表示，其值依赖于一个特殊的初始巴黎期权与欧式期权，因此需要对其拉普拉斯变换求逆。

上述表达式中所有的变量都可以从前面得到，因此也可以计算任意时刻t的巴黎期权价值。在后面我们将重点分析如何通过数值方法对拉普拉斯变换求逆，并给出一个快速精确的数值方法。