2.3 多元随机变量及其分布

2.3.1 多元随机变量

前面我们介绍了随机变量的概念，讨论了用一个随机变量的不同取值来描述随机试验的不同结果。但是，在实际问题中，有些试验结果仅用一个随机变量来描述往往是不够的，需要用两个或两个以上的随机变量来共同描述。例如，打靶时，如只观察击中的环数，用一个随机变量来描述就够了，但如果观察弹着点的位置，则需要用平面直角坐标系中的两个随机变量——弹着点的横坐标X和纵坐标Y来共同描述。用n（n≥2）个随机变量（X1, X2, …, Xn）的不同取值来共同描述随机试验的不同结果，这n个随机变量常作为一个整体来研究，我们称（X1, X2, …, Xn）为n元随机变量。以后我们主要介绍二元随机变量。关于二元随机变量的讨论，不难推广到n（n＞2）元随机变量的情况。

二元随机变量也分为离散型与连续型两大类型。如果二元随机变量（X, Y）的所有可能取值能一一列举，则（X, Y）为二元离散型随机变量。如果X与Y的所有可能取值为某区域内的任何数值，则（X, Y）为二元连续型随机变量。

2.3.2 联合分布函数

设（X, Y）为二元随机变量，则称

为（X, Y）的联合分布函数，简称分布函数。

容易证明，对任意的x1＜x2, y1＜y2，有

由此可见，只要已知（X, Y）的联合分布函数，就能知道（X, Y）取值于任意区域上的概率。

设（X, Y）为二元离散型随机变量，若联合概率函数

已知，则其联合分布函数为

与一元随机变量类似，设F（x, y）为二元随机变量（X, Y）的联合分布函数，如果存在f（x, y）≥0，使对任意实数x、y，有

则称（X, Y）为二元连续型随机变量，f（x, y）为（X, Y）的联合概率分布密度函数，简称分布密度、概率密度或密度函数。

若（X, Y）的概率密度函数f（x, y）已知，则可计算（X, Y）落在任意区域D中的概率

2.3.3 边际分布与条件分布

设F（x, y）为（X, Y）的联合分布函数，则称

分别为X、Y的边际分布函数。

若（X, Y）为二元离散型随机变量，则

其中称为X的边际概率函数。

同理

其中为Y的边际概率函数。

若（X, Y）为二元连续型随机变量，则

其中为X的边际概率密度。

同理

其中为Y的边际概率密度。

由事件的条件概率的概念很自然地引出随机变量的条件概率分布的概念。

设（X, Y）为二元随机变量，称F（y丨x）=P（Y＜y丨X=x）为X=x条件下Y的条件分布，它表示已知X=x条件下，Y＜y的概率。

同理F（x丨y）=P（X＜x丨Y=y）为Y=y条件下X的条件分布，它表示已知Y=y条件下，X＜x的概率。

若（X, Y）为离散型随机变量，则

其中

称为Y的条件概率函数。同理

其中

也称为X的条件概率函数。

若（X, Y）为连续型随机变量，则

其中

称为Y的条件密度函数。同理

其中称为X的条件密度函数。

2.3.4 随机变量的独立性

设X1, X2, …, Xn为n个随机变量，若对任意n个实数x1, x2, …, xn有

则称这n个随机变量相互独立。式中F（x1, x2, …, xn）为（X1, X2, …, Xn）的联合分布函数，Fi（xi）（i=1,2, …, n）为随机变量Xi的分布函数。

若X1, X2, …, Xn为n个连续型随机变量，则独立性的充要条件也可表述为n个随机变量的联合密度等于各随机变量边际密度的乘积，即

若X1, X2, …, Xn为相互独立的n个随机变量，则其中任意m（m＜n）个随机变量也是相互独立的。