第1章　分块法

分块法的主要思想是为了证明两个图形的面积相等，先将两个图形分割成一些数目相同的图块，然后证明每组对应的图块面积相等，即可证明两个图形的总面积相等．

在证明两个不规则的子图块全等时，往往需要用到下面的多边形全等判定条件．它可以看作是判断两个三角形是否全等的角边角定理在多边形中的推广．

定理1.1　如图1.1所示，设两个多边形A1A2···An和B1B2···Bn同时满足如下条件，则它们全等．

（1）两个多边形的边数都为n．

（2）各内角对应相等，即∠A1=∠B1，∠A2=∠B2，···，∠An=∠Bn．

（3）有n−2条连续边对应相等，即a1=b1，a2=b2，···，an−2=bn−2．

证　如图1.1所示，由a1=b1，a2=b2，∠A2=∠B2可知△B3B2B1，故∠1=∠1′，A1A3=B1B3，又已知∠A4A3A2=∠B4B3B2，所以∠2=∠2′，于是由边角边定理知，同理可证，依次类推直到．于是可知A1An−1=B1Bn−1，∠α=∠α′，∠An−2An−1An=∠Bn−2Bn−1Bn．

再由∠3=∠3′，∠4=∠4′，···，∠α=∠α′可知∠A2A1An−1=∠B2B1Bn−1，再从∠A2A1An=∠B2B1Bn可知∠β=∠β′．然后根据角边角定理知．故An−1An=Bn−1Bn，AnA1=BnB1．从而A1A2···An和B1B2···Bn对应角相等，对应边也相等，因此它们全等．

在应用定理1.1时，条件（1）和条件（2）往往是容易验证的．所以本书中在判定两个图块全等时，一般只需证明它们满足条件（3）即可．参见后面的证法1和证法4．

1.1　分块对应法

分块对应法是最直观的分块法，它的要点是将两个图形分解成对应全等的子图块，并为每组对应的图块进行相同的编号，从而得到两个图形面积相等的结论．在参考文献[2]中有很多用分块对应法证明勾股定理的例子，比如下面的证法1～证法7，它们都非常有代表性，都可以看成弦图（见第6章“拼摆法”中的图6.1）的变种．请读者自行体会其中的演变．

证法1　如图1.2(a)所示．显然四边形SMCF和LHBR的四个角对应相等，以及BH=AB=MC，BR=AC=FC，由定理1.1知这两个四边形全等．再截取AX=GM=b−a(AM=BC=a)，易证．故XP=b−(b−a)=a=BE(AP=BR=AC=b)，再由KP=BC和定理1.1可知两个直角梯形TXPK和NEBC全等．

综上所述，可知子图(b)中编号相同的图块各自对应全等，即大正方形面积为两个小正方形面积之和，于是立得c2=a2+b2．　　　　□

证法2　如图1.3所示，仿照证法1易证各同编号的图块对应全等，于是立得c2=a2+b2．　　　　□

证法3　如图1.4所示，其中图块4为直角梯形，高和下底均为a．仿照证法1易证各同编号的图块对应全等，于是立得

证法4　如图1.5(a)所示，截取PW=CL，则有，故WZ=BL=RH．再截取XU=VZ．作UQ⊥XY，则于是有UQ=ZE.XQ=V EQY=VD．又易知BZ=BX=CP，故BE−BZ=CD−CP，得再考虑到BJ=AB=LR，于是可得

现在可知两五边形PDVZW和UQY HR有三组连续边对应相等：RU=WP，UQ=PD，QY=DV，又显然可以看出这两个五边形的对应角相等，于是根据定理1.1知它们全等．

类似可证子图(b)中其他编号相同的图块对应全等，最后可得c2=a2+b2．

□

证法5　如图1.6(a)所示，截取BU=CP，SZ=QU，仿照证法4可知BP+QU=c，于是LZ=BP，再考虑到ZV=UE=PD，LW=CP=BU，便可根据定理1.1知五边形LZV Y W和BPDQU全等．

易证TL=AC=CF，KL=RC，根据定理1.1知四边形KLTX和RCFM全等．又易证子图(b)中其他同编号的图块对应全等，故c2=a2+b2．

□

证法6　如图1.7(a)所示，作KP∥AC交CR于X，显然CX=AK=BH，于是CXHB是平行四边形，故XH∥BC∥AN．从而∠PXH=∠CAN=90°．再考虑到PX=CT，可知

现在截取BZ=CT，XU=WZ，再仿照证法4可证子图(b)中其他同编号的图块对应全等．于是可得

证法7　如图1.8(a)所示，截取KL=CT，BP=CN，并将两直角边上的正方形按子图(b)进行分块和编号．然后在子图(c)中作内正方形ABHK，截取AX=KM，CI=HN．再将正方形ABHK按子图(d)进行分块和编号．

容易验证子图(b)和(d)中相同编号的图块对应全等，故

下面的证法8利用角分线进行分块，别有一番情趣．

证法8　如图1.9(a)所示，作AB的三条平行线GY，RP和EX．易知∠10=∠4，∠6=∠9，再由AC=FG可知

现在作CL平分∠ACB，则CL∥AF∥BD．且AM，再考虑到∠1=∠3，AK=AB，可知，于是∠AMK为直角，同理可证NH⊥BN．设SM和NT分别为∠AMK和∠BNH的平分线，则由∠8=45°=∠4，∠6=∠3=∠1，AM=AC可知．同理可证．

综上所述，我们就证明了子图(b)中所有编号为1的三角形彼此全等．类似可证子图(b)中其他同编号的三角形彼此全等，于是由子图(a)和(b)立得

历史上还出现过和图1.9(b)类似的另外两个分块方案，即参考文献[2]中的第19个和第24个几何证法，我们把它们集中到图1.9的子图(c)和(d)中，使读者有一个更全面的了解．

下面看一个利用正方形的对角线（其实也是角分线）进行分块的例子，即证法9．

证法9　如图1.10(a)所示，截取GM=CL=a．易证ALNM和XZY W都是边长为b−a的正方形，所以它们面积相等．再从∠2=∠4=∠5和∠2+∠1=90°，∠5+∠6=90°可知∠1=∠6．现在截取KS=b−a=MN，再由MF=AB=KH及∠MNF=135°=∠KSH可知再截取BR=b−a，同理可证

综上所述，我们证明了子图(b)中所有编号为2的三角形彼此全等．类似可证子图(b)中其他同编号的图块对应全等，于是由子图(a)和(b)立得

1.2　镶嵌法

前一节介绍的分块方案都是历史上比较经典的案例，体现了数学爱好者的智慧．到了21世纪，随着计算机技术的发展，人们又发现了用计算机批量生成勾股定理证明方法的途径．

在参考文献[6]中就描述了这样一个新颖的思路：构造两种不同的正方形瓷砖，边长分别为a和b．把它们按图1.11所示的方式进行摆放，显然可以铺满一个无穷平面．现在再构造一个边长为c的瓷砖，把它随机地放到平面上的任意位置，那么随着瓷砖c每放到任何一个不同的位置，都可以得到一个不同的分块证法．这个思路的英文原名是“Tessellation”，中文可以理解为“镶嵌”，这即是本节名称的来源．

在参考文献[4]对应的网址中有一个镶嵌法的计算机动画程序．下面的图1.11～图1.19介绍了该程序的不同演示效果．

证法10　如图1.11所示，W、X、Y、Z分别是四个大正方形的对称中心，将它们连接起来，显然．故XW=c．类似可知MY=b=LX，MX=a=LW，故．得Y X=XW，α+β=α+γ=90°，知XY⊥XW．

类似可证WZ=YZ=XY．故WXYZ是边长为c的正方形．易知．于是立得

下面将图1.11中的正方形c向右平移，使其两条边分别过最右侧的小正方形的两个相邻顶点，即可得到图1.12的分块方案，详见证法11．

证法11　如图1.12(a)所示，A、B、C、M分别是三个小正方形的顶点，AB交CM于W点．然后截取NL=a，TN交BL于Z点．用类似过程可作出X点和Y点，易证

由此可知AB和BL在同一条直线上，且CM⊥AB．再由Rt△BNZ可知AW=BZ，于是有ZW=BW+BZ=BW+AW=AB．同理可证WXYZ另外三边的长度也等于AB，故它是边长为c的正方形．

又RM=b−a=ST，AR=b=BS，根据定理1.1可知四边形ARMW和BSTZ全等，于是根据子图(b)中的编号方案知

我们将图1.12中的斜正方形沿直线WA向左下平移，使W点和A点重合，就可以得到图1.13所示的分块方案．然后将图1.13中的斜正方形向右平移到不同的位置，又可以得到图1.14～图1.16所示的证法．

证法12　如图1.13所示，W、X、Y、Z分别是4个小正方形的顶点，仿照证法10可证WXYZ是边长为c的正方形．又显然有S1+S3=a2，S2+S4+S5=b2．于是立得

证法13　如图1.14所示，仿照证法10可证图中加粗的四边形是边长为c的正方形，且编号相同的子图块对应全等，于是立得

证法14　将图1.13中的正方形c向右平移一段距离，即可得到图1.15的分块方案，显然有

证法15　将图1.15中的正方形c向右平移到图1.16所示的位置，显然有

证法16　将图1.16中的正方形c向下平移至图1.17所示的位置，显然有

证法17　如图1.18所示，W、X、Y、Z分别是四个小正方形的对称中心，用和证法10相似的方法可以证明WXYZ是边长为c的正方形．又易证S2=S3，，于是有

证法18　将图1.18中的正方形c向上平移个单位的距离，得到图1.19所示的分块方案，于是有

1.3　十字分块法

张景中院士和彭翕成老师在前一节介绍的镶嵌法的基础上，用动态几何软件——超级画板实现了另一种用计算机批量生成勾股定理分块证明法的途径．其基本思想是先作直角三角形的三个外正方形，然后在平面内任取一点P，过P点作斜边的平行线l1，再作l1的垂线l2，随着P点位置的变化，可以得到许多精巧的分块方案．

显然，这个思路的特点是直线l1和l2构成一个十字，所以可称为十字分块法．下面是十字分块法的一些实例，它们均改编自参考文献[8]中210~214页的内容．

首先介绍P点过小正方形左上顶点的情形，即证法19．

证法19　如图1.20所示，作出l1和l2之后，将小正方形中的图块2向右上平移，使E点和H点重合，就找到了斜正方形中图块2的摆放位置．由此可以确定图块3、4、5在B中的摆放位置．于是由图1.20可知

现在让P下移一段距离，可得证法20．为了简化篇幅，我们以后用实心圆点标出P的原始位置以及图块平移之后P的新位置，不再标出顶点的字母编号．

证法20　如图1.21所示，显然有

当l1过小正方形右下顶点时就得到了证法21．

证法21　如图1.22所示，显然有

现在考虑P点在小正方形内运行的情形．当P点过正方形a的对称中心时，可以得到证法22．细心的读者会发现该证法与前面介绍过的证法17有异曲同工之妙．

证法22　如图1.23所示，显然有

从证法22还可以看出十字分块法的另一个重要的特点，当把某个正方形用十字线分成4块之后，要想办法（一般是平移操作）把得到的4个子图块分别“贴”到斜正方形的4个角上，贴的时候要保证交点P和对应顶点重合，便可确定分块方案．读者可以通过下面介绍的其他例子加深对这个特点的理解．

证法23　如图1.24所示，显然有

现在让l1过小正方形的左上顶点，P在l1内，可以得到证法24．

证法24　如图1.25所示，显然有

现在保持图1.25中的l1位置不变，调整l2的位置，使其过小正方形的左下顶点，即可得到证法25．

证法25　如图1.26所示，显然有

现在考虑P为小正方形内任意一点，把小正方形分成4个不规则四边形的情形，即证法26．

证法26　如图1.27所示，显然有

下面介绍对大正方形b使用十字分块方案的例子．首先看P过大正方形对称中心的情形，即证法27，读者可以将它与前面介绍过的证法10进行比较，会发现二者殊途同归，会得到本质相同的分块方案．

证法27　分块方案如图1.28所示，l1和l2都过正方形b的中心，易证S1=S2=S3=S4．于是有

现在将图1.28中的十字线中心移动到正方形b内其他点，可以得到证法28．

证法28　如图1.29所示，显然有

现在让l1过正方形b的对称中心，P点位于b的边上．可以得到证法29．

证法29　如图1.30所示，过大正方形的中心作直线l1和斜边平行，又作直线l2和l3分别和l1垂直，易证编号相同的图块对应全等，于是有