第2章 游戏中的数学和物理基础知识

2.1 笛卡儿坐标系

2.1.1 2D笛卡儿坐标系

2D笛卡儿坐标系很像是由矩形构成的一个虚拟世界。如果你曾经注视过房屋的天花板，用过街区地图，看过足球比赛，下过象棋，那么你已经在笛卡儿坐标系中了。如图2-1所示，假想一个名为笛卡儿的虚拟城市，该城的设计者们精心设计了街道的布局，中心街道经过城镇中心贯穿东西，其他东西走向的街道是根据它与中心街道的相对位置来命名的，如北3街和南1街。

坐标系是一个精确定位点的框架。2D笛卡儿坐标系有以下两点定义：

① 每个2D笛卡儿坐标系都有一个特殊的点，称做原点（Origin），它是坐标系的中心。原点相当于笛卡儿城的中心。

② 每个2D笛卡儿坐标系都有两条过原点的直线向两边无限延伸，称做轴（Axis）。两个轴互相垂直，这相当于笛卡儿城的中心街道和分界街道。

如图2-2所示，为了在笛卡儿坐标系中定位点，人们引入了笛卡儿坐标的概念。在2D平面中，两个数（x, y）就可以定位一个点。和笛卡儿城街道名的意思类似，坐标的每个分量都表明了该点与原点之间的距离和方位。确切地说，每个分量都是到相应坐标轴的有符号距离。在2D笛卡儿坐标系中，X轴和Y轴的方向可以是任意的，因为这些不同X轴、Y轴方向所构成的坐标系可以通过旋转获得一致，也可以说这些坐标轴是等价的，因此，在2D笛卡儿坐标系中，没有限定X轴、Y轴的方向，但这个概念在3D的笛卡儿坐标系中就不成立。

2.1.2 3D笛卡儿坐标系

通过2D笛卡儿坐标系，可以描述平面的空间，但现实世界中的3D空间则难以描述，因此需要从2D坐标系扩展到3D坐标系。

如图2-3所示，需要3个轴来表示三维坐标系，前两个轴称为X轴和Y轴，这和2D坐标系一样，第三个轴称为Z轴，一般情况下，3个轴互相垂直，也就是每个轴都垂直于其他两个轴。在3D平面中，三个数（x, y, z）就可以定位一个点。

2.1.3 左右手坐标系

在现实世界中，一般来说，如图2-4所示，头顶为Y轴正轴方向，右边为X轴正轴方向，前方为Z轴正轴方向。

但在游戏世界中，一般可以有两种不同的坐标系统来表示游戏世界中的坐标，即左手坐标系（如图2-5所示）和右手坐标系（如图2-6所示）。那如何判断一个坐标系属于左手坐标系还是右手坐标系呢？伸出左手，如图2-5所示，让拇指、食指和中指两两垂直，其中拇指代表Y轴，食指代表Z轴，中指代表X轴，这个坐标系统就是左手坐标系统，任何一个系统，只要能通过旋转变成这个系统，则该系统为左手坐标系统。

按同样的方法，伸出右手，如图2-6所示，这个坐标系统就是右手坐标系统，任何一个系统，只要能通过旋转变成这个系统，则该系统为右手坐标系统。

任何一个3D笛卡儿坐标系统，不是左手坐标系统就是右手坐标系统。