2.4 干涉条纹的对比度

干涉场中某点P附近的条纹的清晰程度用条纹对比度K来量度，它定义为

式中，IM和Im分别为P点附近条纹的强度极大值和极小值。上式表明，条纹对比度与条纹亮

暗差别有关，也与条纹背景光强有关。当Im=0时，K=1，对比度有最大值，这时条纹最清晰。这种情况称为完全相干，前面讨论的两个等强度单色点光源（或线光源）所产生的条纹就是这种情况。当IM=Im时，对比度K=0，条纹完全看不见，这是非相干情况。一般情况下的干涉条纹，K介于0和1之间，为部分相干。

条纹对比度主要与三个因素有关：光源大小，光源非单色性和两相干光波的振幅比。下面分别对每一个因素的影响加以讨论，当论及某一个因素的影响时，把另外两个因素看成是理想的。

2.4.1 光源大小的影响

如上所述，一个单色点光源通过干涉装置所形成的两个相干光源产生的干涉条纹的强度分布如图2.5（b）所示，条纹的对比度K=1，条纹最清晰。但是，实际光源不是理想的点光源，它总有一定的大小，包含着众多的点光源。每一个点光源，在干涉装置中产生各自的一组条纹，并且由于点光源的位置不同，以致各组条纹之间产生位移，如图2.11下部曲线所示。这样，干涉场的总强度分布（各组条纹的强度相加，如图2.11上部曲线所示）就有别于图2.5（b）的理想形状。这时，暗条纹的强度不为零，因而条纹的对比度下降。当光源大到一定程度时，条纹对比度可以下降到零，我们完全看不见干涉条纹。

1. 光源的临界宽度

条纹对比度降为零时光源的宽度称为临界宽度。下面我们以杨氏干涉实验为例，求出光源的临界宽度。假设光源是以S为中心的扩展光源S′S″（见图2.12），那么扩展光源上的每一个发光点都在屏幕上产生各自的一组条纹，整个扩展光源产生的条纹就是每一个点光源产生的条纹的相加。如果扩展光源的边缘点S″和S′到S1 和S2 的光程差分别等于± λ/2，则S″和S′通过杨氏装置产生的条纹与光源中心S产生的条纹相互位移半个条纹间距（见图2.12），S″和S′的条纹相互位移一个条纹间距，光源上的其他点源产生的条纹在一个条纹间距之间。这样一来，屏幕上的光强将处处相等，看不见条纹。这时光源的宽度即为临界宽度。

由图2.12的几何关系，可以得到

式中，bc为光源临界宽度。根据上述分析，bc应满足下式：

因此得到

或者

式中，β=d/l，称为干涉孔径，它是S1 和S2 对S的张角（一般地定义为到达干涉场某一点的两支相干光从发光点发出时的夹角）。式（2.2-12）和式（2.4-4）同样形式简单，在干涉仪理论中有着重要意义。它们虽然是从杨氏装置推导出来的，但可以证明它们也适用于其他干涉装置（见后面的例题2.3）。

一般认为，光源宽度不超过临界宽度的1/4时，条纹的对比度仍是很好的。临界宽度的1/4称为许可宽度，即

上式被用在干涉仪中计算光源宽度的容许值。

2. 空间相干性

扩展光源对条纹对比度的影响使人们认识到光的空间相干性问题。仍然考察图2.12所示的扩展光源产生的干涉：若通过S1 和S2 两小孔的光在P0 点附近能够发生干涉，则称通过空间这两点的光具有空间相干性。显然，光的空间相干性与光源的大小有密切关系。当光源是点光源时，S1 和S2 所在平面上各点都是相干的；当光源是扩展光源时，该平面上具有空间相干性各点的范围与光源大小成反比。从本节讨论可知，当光源宽度等于临界宽度，即

b=λl/d 或 b=λ/β

时，通过S1 和S2 两点的光不发生干涉，因而通过这两点的光没有空间相干性。我们把这时S1和S2 之间的距离称为横向相干宽度，以dt 表示，易见

或以扩展光源对S1 和S2 连线的中点O的张角θ表示

如果扩展光源是方形的（在垂直图面方向上宽度也为b），则它照明的S1，S2 所在平面上的相干面积为

理论证明，对于圆形光源，它照明的平面上的横向相干宽度与式（2.4-7）只差一个系数1.22，即

相应的相干面积

对于直径为1 mm的圆形光源，若λ=6 × 10 -4 mm，在距离光源1 m的地方的横向相干宽度约为0.7 mm，相干面积约为0.38 mm2。

利用空间相干性的概念，可以测量星体的角直径（星体直径对地面考察点的张角）。图2.13所示是为此目的设计的迈克耳孙（A.A.Michelson，1852—1931）测星干涉仪，图中L是望远镜物镜，D1 和D2 是它的两个阑孔，M1，M2，M3，M4是反射镜，其中M1 和M2 可以沿D1 D2 连线方向精密移动，它们起着类似于杨氏装置中小孔S1 和S2 作用。反射镜M3 和M4 固定不动，它们把M1 和M2 反射来的光再反射向望远镜，在其物镜焦平面上产生干涉。当以干涉仪对准某个星体时，如果逐渐增大M1 和M2 的距离d，就会发现焦平面上干涉条纹的可见度逐渐降低，并且当

d=dt=1.22λ/θ

时，对比度降为零，条纹完全消失。因此，只要测量出这时M1 和M2 的距离dt，便可计算出星体的角直径。

例如，迈克耳孙在观察星体参宿四时，在λ=570 nm条件下，测得dt =121 in（307 cm），由此算出这颗星的角直径

θ=1.22 × 5.7 × 10 -5/307 rad≈2.26 × 10 -7 rad≈0.047″

根据这颗星的已知距离，得出它的直径大约是太阳直径的280倍。

在第6章我们将会看到，单模激光器发出的激光束有着极好的空间相干性，在光束的整个横截面内都是空间相干的。因此，如果让这样的激光束直接射到双孔（或双缝）装置上，只要光束覆盖两个小孔，在屏幕上就可以观察到清晰的干涉图样。

2.4.2 光源非单色性影响

前面已经指出，干涉实验中使用的所谓单色光源，并不是绝对单色的，它包含有一定的光谱宽度Δλ。这种情况也会影响条纹的对比度，因为Δλ范围内的每一种波长的光都生成各自的一组干涉条纹，并且各组条纹除零干涉级外，相互间均有位移，所以与光源宽度的影响相仿，各组条纹重叠的结果也使条纹对比度下降。

1. 相干长度

波长范围从λ到λ+Δλ的各个波长的条纹的相对位移和叠加如图2.14（a）所示，这里假设各个波长光波的强度相等。图下部实线表示波长λ+Δλ的条纹，虚线表示波长λ的条纹，两组条纹的相对移动量随光程差D的增大而增大。图上部曲线则是Δλ范围内所有波长的条纹的叠加。可见，叠加曲线的变化幅度随光程差的增大而下降；在某一光程差下，条纹变化的幅度变为零，这表示该处的条纹对比度已降为零，该处看不见条纹，如图2.14（b）所示。我们把波长宽度为Δλ的光源能够产生干涉条纹的最大光程差称为相干长度。Δλ和相干长度的关系可通过下面简单的考虑得到：假定在某一光程差下，波长为λ+Δλ的第m 级条纹和波长为 λ 的第 m +1级条纹重合，即这两个波长条纹的相对移动量达到一个条纹间距，那么波长为λ+Δλ的m级和m.1级条纹之间便充满了Δλ范围内其他波长的条纹（见图2.15），因而该处各点强度相等，条纹对比度为零。该处对应的光程差就是能够发生干涉的最大光程差，即相干长度。该处的光程差应满足如下条件：

Dmax=（m+1）λ=m（λ+Δλ）

由此得到该处的干涉级

和相干长度

上式表明，能够发生干涉的最大光程差（相干长度）与光源的波长宽度成反比。光源的波长宽度越小，就能够在更大的光程差下观察到干涉条纹。例如，以白光作为光源时，若用眼睛直接观察干涉条纹，白光源的波长宽度约为150 nm，由上式算出的相干长度为3～4个波长。当用氪灯作为光源时，氪橙线的波长宽度约为4.7 × 10 -4 nm，相应的相干长度约为70 cm。单模激光器不仅具有极好的空间相干性，而且具有非常窄的波长宽度，它可以比氪橙线的宽度小四个数量级，因此相干长度可达几十公里。

应该注意到，式（2.4-12）和关于波列长度的关系式（1.10-17）完全相同，表明相干长度实际上等于波列长度。记得在2.1节里，曾经利用波列长度的概念讨论过能够观察到干涉现象的最大光程差，得到最大光程差等于波列长度的结论；现在又利用波长宽度进行讨论，并得到同样的结果，这说明利用波列长度和波长宽度的概念来讨论问题是完全等效的。

2. 时间相干性

两光波只在小于相干长度的光程差下能够发生干涉的事实体现了光波的时间相干性。我们把光通过相干长度所需的时间称为相干时间，因此只有由同一光源在相干时间Δt内发出的光才能产生干涉。光的这种相干性称为时间相干性，而相干时间Δt是光的时间相干性的量度。Δt取决于光波的波长宽度Δt，由式（2.4-12）

Dmax=c·Δt=λ2/Δλ

式中，c为光速。又因为波长宽度Δλ和频率宽度Δν有如下关系：

Δλ/λ=Δν/ν

故由上面两式可以得到

上式表明，光波的频率宽度Δν越小，Δt越大，光的时间相干性越好。

可以利用杨氏装置来研究光的时间相干性。如图2.16所示，让一个频率宽度为Δν的平面波照射小孔S1 和S2，这时在屏幕上P0 点（它与S1 和S2 等距）附近总会看到干涉图样。

这是因为从S1 和S2 到P0 附近的点的光程差极小，或者从时间相干性的观点看，在这些点相遇的光波是由同一光源在相干时间Δt内发出的，应具有相干性。但是，如果我们在一个小孔前放置一块玻璃片，并且当它产生的光程使得通过S1 和S2 的两束光到达P0 点的光程差大于相干长度时，在P0 点及其附近就不可能再看到干涉条纹。因为这时到达屏幕上的两束光是对应于光源在大于相干时间的时间间隔内发射的，它们已不存在相干性。设玻璃片的厚度为h，折射率为n，则它引入的通过S1 和S2 的两束光的附加光程差为

相应地两束光的发射时间差为

如果Δt′＞Δt（相干时间），两束光不发生干涉。

2.4.3 两相干光波振幅比的影响

两相干光波的振幅（强度）不等时，也会影响条纹的可见度。根据式（2.2-1），屏幕上干涉条纹强度极大值和极小值分别为和，代入条纹对比度表达式（2.4-1），得到

以振幅比表示，上式可写为

只有当A1 =A2 时，K=1；当A1≠A2 时，K＜1；A1 和A2 相差越甚，K值越小。这是容易理解的，因为当两相干光波的振幅相差很大时，干涉所造成的强度实际上与其中较大强度的一个光波单独产生的强度没有多大差别，这时干涉场几乎为一片均匀照度，看不出条纹。

利用式（2.4-16），可以把两光束干涉公式（2.2-1）写成如下形式：

式中，。上式表明，当两干涉光束的强度不等时，干涉条纹的光强分布不仅与两光束的位相差有关，还与两光束的振幅比有关（K与振幅比有关）。因此，若把干涉条纹记录下来，就等于把相干光波的振幅比和位相差这两个方面的信息都记录下来了。这就是“全息记录”的概念，关于全息照相的讨论见3.9节。

例题2.3 试对于洛埃镜装置，证明光源的临界宽度 bc 和干涉孔径 β 之间有关系bc=λ/β。

证 以S1 S2 代表宽度为b的光源（见图2.17），S0 为其中点。源点S1、S0 和S2 在洛埃镜中的虚像分别为、和。对于干涉场点P，干涉孔径角β是S0 P和S0 M的夹角，而M是S0 发出的到达P的光线在镜面上的反射点，在洛埃镜实验中，光源非常贴近镜面的延长线，故β角很小。因此有

β=PP′/D=2x/D

式中，P′是场点P在镜中的共轭点。当光源到达临界宽度时，源点S0 产生的干涉条纹（可看成是S0 和S0′一对相干光源所生）和S2 产生的干涉条纹（S2 和S2′所生）在P处的光程差之差应为λ/2。因为S0 产生的干涉条纹在P点的光程差为[参见式（2.2.7）]

式中，d为S0 S0′之间的距离。S2 产生的干涉条纹在P点的光程差为

则

故

由此得到 bc=λ/β

例题2.4 在2.3节介绍的诸种干涉实验中，设光源为点光源，光源发光的波长宽度为Δλ（相应的波数宽度为Δk），且Δλ内各波长的光强相等，证明干涉条纹的对比度K与波数宽度Δk及光程差D的关系为

并画出K随D变化的曲线。

证 包含多个波长的光波在干涉场产生的光强，是各个波长的光波在干涉场产生的光强之和。如果把波数宽度Δk分成许多无穷小波数元（图2.18），则波数宽度Δk内的光波产生的强度就是这些无穷小的波数元的光波产生的强度的积分。设每一个波数元的宽度为dk，则位于波数k处的波数元在干涉场某点产生的光强为

dI=2I0 dk（1+coskD）

式中，I0 为光强谱密度，D为该点对应的光程差。因此，波数宽度Δk内（平均波数为k0）的光波在该点产生的总光强为

上式表明，干涉场中光程差不同的点将有不同的光强，其强度极大值为

强度极小值为

所以条纹的对比度为

对比度K 随D变化的曲线如图2.19所示。可见，当D =2π/Δk时，K=0。此时D即为发生干涉的最大光程差或相干长度。因为

Δk=2πΔλ/λ2

所以Dmax=λ2/Δλ

这一结果与式（2.4-12）一致。