1.3 矢量微分算子

1. ▽算子

▽算子是一个微分算子，同时又是一个矢量算子，具有微分运算和矢量运算的双重性质。一方面它作为微分算子对它作用的函数求导，另一方面这种运算又必须适合矢量运算法则。本节来说明 ▽算子的运算性质，并给出一些常用公式。必须指出，虽然作为例子用直角坐标系给出了一些公式的证明，但这些公式的正确性与坐标系选择无关。

我们已经给出 ▽算子表示标量场的梯度、矢量场的散度和旋度，即

▽算子还可以构成一个纯标量算子，即

称为Laplace算子，其可作用在标量函数和矢量函数上。

2. ▽算子常见计算公式

（1）设u是标量场，则有

（2）设u和v是标量，A和B是矢量，则有

（3）关于 ▽的二级微分运算为

3. 关于场源的一些常用结论

设有场点为r=exx+eyy+ezz，源点为r′=exx′+eyy′+ezz′，且记

则有

同时有

4. 高斯定理和斯托克斯定理

【例1-4】 计算下列各式的值，其中C为常矢量。

（1）▽·[（C·r）r]；（2）▽ ×[（C·r）r]；（3）C· ▽ × 。

解：（1）▽·[（C·r）r]= ▽[（C·r）]·r+（C·r）（▽·r）=C·r+3C·r=4C·r

（2）▽ ×[（C·r）r]= ▽[（C·r）]× r+（C·r）（▽ × r）=C × r

【例1-5】 求 ▽2 eiK·r，其中K为常矢量。

解：由

▽eiK· r=eiK· r ▽（iK·r）=iKeiK· r

而

▽2eiK· r= ▽· ▽eiK· r= ▽·（iKeiK· r）= ▽eiK· r·iK= - |K|2eiK· r